定理 6.97 (置換積分)
積分変数を
![$ x=\phi(t)$](img1185.png)
と置き換えると定積分は
と表される.
例 6.98 (置換積分の計算例)
![$ \alpha\ne -1$](img3288.png)
のとき,
例 6.99 (置換積分の計算例)
ここで,
![$ t=\cos x$](img2620.png)
とおいて,
![$ t=\sin 0=1$](img3292.png)
,
![$ \displaystyle{t=\sin\frac{\pi}{2}=0}$](img3293.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dt}{dx}=-\sin x}$](img3294.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$](img2617.png)
を用いた.
例 6.100 (置換積分の計算例)
ここで
![$ t=\sin x$](img2623.png)
とおいた.このとき
であることを用いた.
また積分区間は
![$ \displaystyle{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$](img3297.png)
から
![$ \displaystyle{0=\sin(0)\leq t\leq 1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}$](img3298.png)
へと変わる.
例 6.101 (置換積分の計算例)
![$ a>0$](img225.png)
のき,
ここで,
![$ x=a\sin t=\phi(t)$](img3302.png)
とおいて,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=a\cos t}$](img2635.png)
,
![$ \displaystyle{t=\phi^{-1}(x)=\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}}$](img3303.png)
,
![$ \displaystyle{\phi^{-1}(a)=\mathrm{Sin}^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}}$](img3304.png)
,
![$ \displaystyle{\phi^{-1}(0)=\mathrm{Sin}^{-1}(0)=0}$](img3305.png)
を用いた.
例 6.102 (置換積分を用いた定積分)
ここで,
![$ x=\sin t=\phi(t)$](img3309.png)
とおいて,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=\cos t}$](img3310.png)
,
![$ \phi^{-1}(1)=\mathrm{Sin}^{-1}1=\pi/2$](img3311.png)
,
![$ \phi^{-1}(0)=\mathrm{Sin}^{-1}0=0$](img3312.png)
を用いた.
例 6.103 (置換積分を用いた定積分)
ここで,
![$ \displaystyle{\frac{x}{3}=\sin t}$](img3315.png)
とおいて,
![$ x=3\sin t=\phi(t)$](img3316.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=3\cos t}$](img3317.png)
,
![$ t=\phi^{-1}(x)=\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$](img3318.png)
,
![$ \phi^{-1}(2)=\mathrm{Sin}^{-1}\frac{2}{3}=\alpha$](img3319.png)
,
![$ \phi^{-1}(0)=\mathrm{Sin}^{-1}0=0$](img3312.png)
を用いた.
また,
![$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$](img3320.png)
より,
![$ \cos t\ge0 $](img3321.png)
(
![$ t\in[0,\alpha]$](img3322.png)
) であり,
![$ \displaystyle{\sin \alpha=\frac{2}{3}}$](img3323.png)
より,
![$ \displaystyle{\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{3}}$](img3324.png)
で
あることを用いた.
例 6.104 (置換積分を用いた定積分)
![$ a>0$](img225.png)
のとき,
ここで,
![$ \displaystyle{\frac{x-a}{a}=\sin t}$](img3331.png)
とおき,
![$ x=\phi(t)=a(1+\sin t)$](img3332.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=a\cos t}$](img2635.png)
,
![$ \displaystyle{t=\phi^{-1}(x)=\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x-a}{a}}$](img3333.png)
,
![$ \displaystyle{\phi^{-1}(0)=\mathrm{Sin}^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{2}}$](img3334.png)
,
![$ \displaystyle{\phi^{-1}(2a)=\mathrm{Sin}^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}}$](img3335.png)
を用いた.
例 6.106 (双曲線関数を用いた定積分)
定積分
を考える.
積分区間が
![$ x: -4\to-2$](img3340.png)
であるから
![$ x<0$](img560.png)
である.
このことに注意して変数変換を
とする.このとき積分区間は
となる.また
であることを用いると
![$\displaystyle I$](img2588.png) |
![$\displaystyle = \int_{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}^{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sqrt{\cosh^2t-1}(-\sinh t)\,dt$](img3344.png) |
|
|
(積分区間をひっくり返す.
を用いて.) |
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|
![$\displaystyle = -\int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \...
...t^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \vert\sinh t\vert\,dt$](img3346.png) |
|
|
(
のとき より.) |
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|
![$\displaystyle = \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh^2 t\,dt$](img3349.png) |
|
|
(
を用いて.) |
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![$\displaystyle = \frac{1}{2} \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)...
... \frac{1}{2}\sinh(2t)-t \right]^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)}$](img3351.png) |
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|
![$\displaystyle = \frac{1}{4}\sinh(2\,\mathrm{Cosh}^{-1}(4))- \frac{1}{4}\sinh(2\...
...h}^{-1}(2))- \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$](img3352.png) |
|
となる.ここで
であることを用いる.このとき
より
となる.また
である.よって
を得る.
例 6.107 (双曲線関数を用いた定積分)
定積分
を求める.
とおく.すると,
となる.ここで,
である.これらを代入すると
を得る.
平成21年6月1日