6.21 定積分の部分積分

定理 6.108 (部分積分)  

$$\int_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx= \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}- \int_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx\,.$$

例 6.109 (部分積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{\pi}x\,\sin x\,dx= \int_{0}^{\pi}x\,(-\cos x)'\,dx= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi}1\times(-\cos x)\,dx$$

$$= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}+ \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx= \Big[-x... ...Big]_{0}^{\pi}+ \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi}= \Big[-x\cos x+\sin x\Big]_{0}^{\pi}$$

$$= (-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-0\times\cos0+\sin0)=\pi\,.$$

例 6.110 (部分積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x(e^{2x})'\,dx=... ...em width0em depth0.1em\,{\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}}\,\right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{e^2}{2}- \frac{e^2}{4}-0+ \frac{1}{4}= \frac{e^2+1}{4}\,.$$

例 6.111 (部分積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{1}\left(\mathrm{Sin}^{-1} x\right)^{4}\,dx= \int_{0}^{\pi/2}t^4\cos t\,dt=...$$

ここで， $${t=\mathrm{Sin}^{-1}x}$$, $x=\sin t$ とおき， $${\frac{dx}{dt}=\cos t}$$, $t=\mathrm{Sin}^{-1}0=0$, $${t=\mathrm{Sin}^{-1}1=\frac{\pi}{2}}$$ を用いた．

平成21年6月1日