6.22 偶関数と奇関数の定積分

定理 6.112 (偶関数，奇関数の定積分)   関数 $f(x)$ が偶関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx\,.$$

関数 $f(x)$ が奇関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\,.$$

（証明）     関数 $f(x)$ が偶関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx= \int_{-a}^{0}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= -\int_{0}^{-a}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx$$

$$= -\int_{0}^{a}f(-t)(-1)\,dt+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= \int_{0}^{a}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= 2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$$

が成り立つ． 関数 $f(x)$ が奇関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx= \int_{-a}^{0}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= -\int_{0}^{-a}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx$$

$$= -\int_{0}^{a}f(-t)(-1)\,dt+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= -\int_{0}^{a}f(t)\,dt+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx= -\int_{0}^{a}f(x)\,dx+ \int_{0}^{a}f(x)\,dx=0$$

が成り立つ．

平成21年6月1日