6.23 三角関数の定積分

問 6.113 (三角関数の定積分)   自然数 $n,m$ に対して

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0\,, \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0\,,$$

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,, \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0\,, \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}$$

となることを示せ． ただし， $\delta_{n,m}$ はクロネッカーのデルタ（Kronecker's delta） である．

（答え）    

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx= \left[\vrule height1.5em width0em dep... ...em\,{\frac{1}{n}\sin nx}\,\right]_{0}^{2\pi}= \frac{1}{n}(\sin 2n\pi-\sin 0)=0.$$

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx= \left[\vrule height1.5em width0em dep... ... nx}\,\right]_{0}^{2\pi}= \frac{-1}{n}(\cos 2n\pi-\cos 0)= \frac{-1}{n}(1-1)=0.$$

$n\ne m$ のとき，

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx= \frac{-1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos(n+m)x-\cos(n-m)x)\,dx$$

$$= \frac{-1}{2} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fr... ...pi}= -\frac{\sin2(n+m)\pi-\sin0}{2(n+m)} +\frac{\sin2(n-m)\pi-\sin0}{2(n-m)}=0.$$

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos(n+m)x+\cos(n-m)x)\,dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fra... ...\pi}= \frac{\sin2(n+m)\pi-\sin0}{2(n+m)}+ \frac{\sin2(n-m)\pi-\sin0}{2(n-m)}=0.$$

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\sin(n+m)x+\sin(n-m)x)\,dx$$

$$= \frac{-1}{2} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fr... ...{2\pi}= -\frac{\cos2(n+m)\pi-\cos0}{2(n+m)} -\frac{\cos2(n-m)\pi-\cos0}{2(n-m)}$$

$$= -\frac{1-1}{2(n+m)} -\frac{1-1}{2(n-m)}=0.$$

$n=m$ のとき，

$$\int_{0}^{2\pi} \sin nx\,\sin nx\,dx= \int_{0}^{2\pi} \sin^2 nx\,... ...t1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}}\,\right]_{0}^{2\pi}$$

$$= \frac{2\pi-0}{2}-\frac{\sin 4\pi-\sin 0}{4}= \pi.$$

$$\int_{0}^{2\pi} \cos nx\,\cos nx\,dx= \int_{0}^{2\pi} \cos^2 nx\,... ...t1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{\sin 2x}{4}+\frac{x}{2}}\,\right]_{0}^{2\pi}$$

$$= \frac{\sin 4\pi-\sin 0}{4}+\frac{2\pi-0}{2}= \pi.$$

$$\int_{0}^{2\pi} \sin nx\,\cos nx\,dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}... ...cos 2x}{4}}\,\right]_{0}^{2\pi}= -\frac{\cos 4\pi-\cos 0}{4}= -\frac{1-1}{4}=0.$$

問 6.114 (三角関数の定積分)   定積分

$$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\,,\quad J_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx\,\qquad (n=0,1,2,\cdots)$$

は

$$I_{n}=J_{n}= \frac{(n-1)!!}{n!!}\varepsilon_{n}\,,\qquad \varepsi... ...($n$: 偶数)} \\ [2ex] \displaystyle{1} & \text{($n$: 奇数)} \end{array} \right.$$

となることを示せ（ヒント: 例 を用いよ）．

平成21年6月1日