6.24 図形の面積

定理 6.115 (図形の面積)   曲線 $ y=f(x)$, $ y=g(x)$ と直線 $ x=a$, $ x=b$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$    

により求まる.

定理 6.116 (図形の面積)   曲線 $ y=f(x)$$ x$ 軸 と直線 $ x=a$, $ x=b$ で囲まれてできる領域の 面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{a}^{b}\vert f(x)\vert\,dx$    

により求まる.

6.117 (図形の面積の計算例)   単位円 $ x^2+y^2=1$ の内部の領域の面積を求める. 円の方程式は書き直すと

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\pm\sqrt{1-x^2}$    

と表される.$ y(x)$ は 2 価関数である. 枝をそれぞれ

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sqrt{1-x^2}\,,\quad g(x)=-\sqrt{1-x^2}$    

とおく.このとき円の面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,dx= \int_{-1}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)\right)\,dx= 2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$    
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$    
     ($ x=\cos t$ とおく. $ dx/dt=-\sin t$ であり $ x:0\to1$ $ t:\pi/2\to0$ となる.)    
  $\displaystyle = 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-\cos^2t}(-\sin t)\,dt$    
     (積分区間をひっくり返す. $ \cos^2t+\sin^2=1$ を用いて.)    
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vert\sin t\vert\sin t\,dt$    
     ( $ 0\leq t\leq\pi/2$ のとき $ \sin t\ge0$ より)    
  $\displaystyle = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt$    
     ( $ \sin^2 t=(1-\cos2t)/2$ を用いて.)    
  $\displaystyle = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2t)\,dt= \Big[2t-\sin 2t\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= 2\times\frac{\pi}{2}-0-\sin(\pi)+\sin(0)=\pi$    

と求まる.

6.118 (図形の面積の計算例)   曲線 $ x=y^2$ と直線 $ x=y+2$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{0}^{1}(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\,dx+ \int_{1}^{4}(\sqrt{x}-(x-2))\,dx$    

により求まる.

6.119 (図形の面積の計算例)   円 $ x^2+y^2=1$ を直線 $ 2x+2y=1$ で 2 つに分割する. 分割された上側の領域の面積を求める. 面積は

$\displaystyle S$ $\displaystyle = \int_{-1}^{\alpha}(\sqrt{1-x^2}-(-\sqrt{1-x^2}))\,dx+ \int_{\alpha}^{\beta}(\sqrt{1-x^2}-\frac{1-2x}{2})\,dx$    

により求まる.ここで,$ \alpha$, $ \beta$ $ \alpha<\beta$)は 円と直線の交点の $ x$ 座標で

$\displaystyle x^2+\left( \frac{1-2x}{2} \right)^2=1$    

の根である. 計算は自習.


平成21年6月1日