6.28 演習 〜 定積分

問 6.131 (定積分)   次を示せ．
    (1)  $f(x)$ が偶関数のとき $${\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx}$$
    (2)  $f(x)$ が奇関数のとき $${\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$

問 6.132 (定積分)   次の定積分を求めよ．
    (1)   $${\int_{a}^{b}\alpha\,dx}$$     (2)   $${\int_{a}^{b}x\,dx}$$     (3)   $${\int_{0}^{1}x^5\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx}$$     (5)   $${\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}}$$     (6)   $${\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}}$$
    (7)   $${\int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$$

問 6.133 (定積分の置換積分)   次の定積分を求めよ．($a>0$)
    (1)   $${\int_{0}^{1}(1-x)^a\,dx}$$     (2)   $${\int_{0}^{1}\sqrt{(3x+1)^3}\,\,dx}$$     (3)   $${\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$$
    (5)   $${\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}\,\,dx}$$     (6)   $${\int_{0}^{1}x^2\sqrt{1-x^2}\,\,dx}$$     (7)   $${\int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+3}}}$$     (8)   $${\int_{0}^{2a}x^2\sqrt{2ax-x^2}\,dx}$$
    (9)   $${\int_{-4}^{-2}\sqrt{x^2-1}\,\,dx}$$     (10)   $${\int_{1}^{2}xe^{x^2}dx}$$     (11)   $${\int_{0}^{2}x\log(x^2+1)dx}$$     (12)   $${\int_{1}^{e}\frac{(\log x)^4}{x}dx}$$

問 6.134 (定積分の部分積分)   次の定積分を求めよ．
    (1)   $${\int_{0}^{\pi}x\sin x \,\,dx}$$     (2)   $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos x\,\,dx}$$     (3)   $${\int_{0}^{\pi}x^3\cos x\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{1}xe^{2x}dx}$$     (5)   $${\int_{0}^{2}x^2e^{2x}dx}$$
    (6)   $${\int_{0}^{1}\left(\mathrm{Sin}^{-1} x\right)^{4}\,dx}$$ ( $t=\mathrm{Sin}^{-1}x$)

問 6.135 (有理式の定積分)   次の定積分を求めよ．
    (1)   $${\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1+x}{1+x^2}dx}$$     (2)   $${\int_{0}^{2}\frac{x}{(1+x^2)^2}dx}$$     (3)   $${\int_{0}^{2}\frac{x^3}{(x+1)^2}\,\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^4}dx}$$

問 6.136 (三角関数の定積分)   次の定積分を求めよ．
    (1)   $${\int_{0}^{\pi/4}\cos^3x dx}$$     (2)   $${\int_{0}^{\pi}\cos^4 x\,dx}$$     (3)   $${\int_{0}^{\pi/2}\sin^5 x\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{\pi/2}\cos^2 x\sin x\,dx}$$
    (5)   $${\int_{0}^{\pi}(1-\sin x)\cos^6 x\,dx}$$     (6)   $${\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx}$$     (7)   $${\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\sin^3 x}\,dx}$$

問 6.137 (三角関数の定積分)   自然数 $n,m$ に対して次の定積分が成立することを示せ．

    (1)   $${\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0}$$     (2)   $${\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0}$$     (3)   $${\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0}$$
    (4)   $${\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}}$$     (5)   $${\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}}$$

問 6.138 (定積分)   $n=0,1,2,\cdots$ に対して 次の定積分が成立することを示せ．

    (1)   $$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx= \begin{c... ...laystyle{\frac{(n-1)!!}{n!!}} & \text{($n$: 奇数)} \end{cases}}$$     (2)   $$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx= \begin{c... ...laystyle{\frac{(n-1)!!}{n!!}} & \text{($n$: 奇数)} \end{cases}}$$

問 6.139 (面積)   次の領域の面積を定積分で求めよ．
    (1)  単位円 $x^2+y^2=1$ の内部の領域．     (2)  楕円 $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$ $(a>0\,,\,b>0)$ の内部の領域
    (3)  曲線 $${x=y^2}$$ と直線 $x=y+2$ とで囲まれてできる領域．
    (4)  2 つの曲線 $${y=\frac{x^3}{4}}$$, $y=x^3-x$ で囲まれてできる領域．
    (5)  円 $x^2+y^2=1$ を直線 $2x+2y=1$ で 2 つに分割してできる上側の領域．
    (6)  曲線 $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ( $0\le t\le 2\pi$) と $x$ 軸とで囲まれてできる領域．
    (7)  曲線 $x=a\cos^3t$, $y=a\sin^3t$ ( $0\le t\le 2\pi$) と $x$ 軸とで囲まれてできる領域．
    (8)  曲線 $x=2t+1$, $y=2-t-t^2$ と $x$ 軸とで囲まれてできる領域．
    (9)  曲線 $x=\sin t$, $y=t\cos t$ ( $0\le t\le \pi/2$) と $x$ 軸とで囲まれてできる領域．
    (10)  曲線 $x=a(1-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ( $0\le t\le 2\pi$) と $x$ 軸とで囲まれてできる領域．

問 6.140 (曲線の長さ)   次の曲線の長さを定積分で求めよ．
    (1)  単位円 $x^2+y^2=1$ の円周の長さ．     (2)  $y=x^2$ ( $-1\leq x\leq 1$)
    (3)   $${y=\cosh x}$$ ( $-1\leq x\leq 1$)     (4)   $${y=\log x}$$ ( $1\le x\le 2$)
    (5)   $${y=\log\cos x}$$ ( $0\le x\le\pi/4$)     (6)   $${y=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a})}$$ ( $0\le x\le b$)
    (7)   $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ( $0\le t\le 2\pi$)     (8)   $x=a\cos^3t$, $y=a\sin^3t$ ( $0\le t\le 2\pi$)
    (9)   $x=t\cos(1/t)$, $y=t\sin(1/t)$ ( $1\le t\le 2$)     (10)  $x=3t^2$, $y=3t-t^3$ ( $0\le t\le 2$)

問 6.141 (回転体の体積)   次の体積を求めよ．
    (1)  $y=x^2$, $x=1$, $y=0$ とで囲まれてできる領域を $x$ 軸回りで 1 回転してできる立体．
    (2)   $x^2+(y-2)^2=1$ の内部の領域を $x$ 軸回りで 1 回転してできる立体．

平成21年6月1日