2.27 関数の極限の確定と不確定

定義 2.99 (無限大)   変数 $x$ の値が正で限りなく大きくなるとき $x\to+\infty$ と書く． 変数 $x$ の値が負で限りなく小さくなるとき $x\to-\infty$ と書く． また， 変数 $f(x)$ の値が正で限りなく大きくなるとき $f(x)\to+\infty$ と書く． 変数 $f(x)$ の値が負で限りなく小さくなるとき $f(x)\to-\infty$ と書く．

注意 2.100 (確定，不確定)   極限 $f(x)\,\,(x\to a)$ を特徴づける性質として， 収束，発散以外にも次の条件を考える：

収束	有限確定	確定	(例) $${\lim_{x\to\infty}}\,e^{-x}\sin x=0$$
発散	無限確定	確定	(例) $${\lim_{x\to\infty}}\,e^{x}=\infty$$
発散	無限不確定	不確定	(例) $${\lim_{x\to\infty}}\,e^{x}\sin x$$
発散	有限不確定	不確定	(例) $${\lim_{x\to\infty}}\,\sin x$$

注意 2.101 (不定形)   極限操作をし不定形

$$\frac{0}{0}\,,\quad \frac{\infty}{\infty}\,,\quad \infty-\infty\,,\quad \infty\cdot0\,,\quad 0^0\,,\quad \infty^0\,,\quad 1^\infty$$

と呼ばれる形になるときは注意が必要である． このままではまだ有限確定とも無限確定とも分からない． もしこの形のになるときは式変形をした後に極限操作を行う． 極限が有限確定または無限確定

$$\frac{1}{\infty}=0\,,\quad \frac{0}{\infty}=0\,,\quad \frac{\infty}{1}=\infty\,,\quad \frac{1}{0}=\infty\,,\quad \frac{\infty}{0}=\infty\,,$$

$$1+\infty=\infty\,,\quad 0+\infty=\infty\,,\quad \infty+\infty=\infty\,,\quad 1\cdot\infty=\infty$$

するように計算方法を工夫する．

例 2.102 (無限大の具体例)  

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\,, \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\,, \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0\,,$$

$$\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\,, \lim_{x\to+\infty}e^{x}=\infty\,, \lim_{x\to-\infty}e^{-x}=\infty\,, \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\,,$$

$$\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=\infty\,, \lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty\,, \lim_{x\to a\pm0}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,, \lim_{x\to a}\frac{1}{(x-a)^2}=\infty\,.$$

注意 2.103 (関数の増加の速さ)   $x\to\infty$ における関数の増加の速さは次の通りである：

$$e^{x} \quad>>\quad x^n \quad>>\quad x^2 \quad>>\quad x \quad>>\quad \sqrt{x} \quad>>\quad \sqrt[3]{x} \quad>>\quad \sqrt[n]{x} \quad>>\quad \log x$$

平成21年6月1日