3.7 有理数べきのべき関数の微分

定理 3.17 ($m$ 乗根関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[m]{x}= \frac{d}{dx}\,x^{\frac{1}{m}}= \frac{\sqrt[m]{x}}{m\,x}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1} \quad( m )$$

問 3.18   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=\sqrt[m]{x}=x^{\frac{1}{m}}$ とおく． このとき

$$f(x+h)-f(x) =(x+h)^{\frac{1}{m}}-x^{\frac{1}{m}}$$

である． ここで

$$a^{m}-b^{m} =(a-b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+\cdots+ab^{m-2}+b^{m-1})$$

$$=(a-b)\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}$$

$$\Rightarrow \quad a-b=\frac{a^{m}-b^{m}}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m}a^{m-k}b^{k-1}}}$$

であることを用いる． $a=(x+h)^{\frac{1}{m}}$, $b=x^{\frac{1}{m}}$ とおくと

$$f(x+h)-f(x) = \frac{\left((x+h)^{\frac{1}{m}}\right)^{m}-\left(x^{\frac{1}{m}... ...} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$

$$= \frac{h} {\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$

を得る．よって

$$\frac{dy}{dx} =f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+h)^{m-k}x^{k-1}\right)^{\frac{1}{m}}}}$$

$$= \frac{1}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} \left((x+0)^{m-k}x^{k-1}\... ...frac{m-1}{m}}}}= \frac{1}{m\,x^{\frac{m-1}{m}}}= \frac{1}{m}\,x^{\frac{1}{m}-1}$$

となる．

平成21年6月1日