3.19 高階導関数

定義 3.49 (高階導関数)   関数 $f'(x)$ が微分可能のとき，$f'(x)$ の導関数

$$f''(x) =\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$

を2 階導関数（second order derivative）という． このとき $f(x)$ は 2 回微分可能（two times differentiable）と呼ぶ． 同様に $f(x)$ を $n$ 回繰り返し微分した関数を $n$ 階導関数（$n$-th order derivative）といい， $f^{(n)}(x)$ と書き表わす． 関数 $f^{(n)}(x)$ は

$$f^{(n)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f^{(n-1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}\qquad (n=1,2,3,\cdots)$$

と再帰的に定義する． ただし $f^{(0)}(x)=f(x)$ とする． $f^{(n)}(x)$ が存在するとき $f(x)$ は $n$ 回微分可能（$n$ times differentiable）という．

注意 3.50 (高階導関数)   高階導関数 $f^{(n)}(x)$ は関数 $y=f(x)$ に $n$ 回 微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ を作用させたものであるから， 記号の表記は次のように行う：

$$f^{(n)}= \underbrace{\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\cdots\frac{d}{dx}}_... ...ac{d}{dx}\right)^{n}f= \frac{d^n}{dx^n}f= \frac{d^nf}{dx^n}= \frac{d^ny}{dx^n}.$$

例 3.51 (高階導関数の計算例)   $y=x^{\alpha}$ の高階導関数を求める． $\alpha$ が自然数ではないとき，

$$y' =\alpha\,x^{\alpha-1}\,,$$

$$y''&=\alpha(\alpha-1)\,x^{\alpha-2}\,,$$

$$y''' =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\,x^{\alpha-3}\,,$$

$$\vdots \nonumber$$

$$y^{(n)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}=\,,$$

$$y^{(n+1)} =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n)x^{\alpha-n-1}\,$$

$$\vdots \nonumber$$

を得る． よって一般的に

$$y^{(n)}=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}x^{\alpha-n}$$

と表される．

定義 3.52 (階乗の拡張)   $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して

$$\alpha!=\alpha(\alpha-1)!, \quad 0!=1$$

と定義する．

例 3.53 (高階導関数の計算例)   自然数 $n$ とする．$x^n$ の高階導関数は

$$y =x^{n}\,,$$

$$y' =n\,x^{n-1}\,,$$

$$y''&=n(n-1)\,x^{n-2}\,,$$

$$y''' =n(n-1)(n-2)\,x^{n-3}\,,$$

$$\vdots \nonumber$$

$$y^{(n-1)} =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot\,x\,,$$

$$y^{(n)} =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,,$$

$$y^{(n+1)} =0\,,$$

$$y^{(n+2)} =0\,$$

$$\vdots \nonumber$$

より，一般的に

$$y^{(k)}= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}} & (k\leq n) \\ 0 & (k>n) \end{array} \right.$$

と表される．

例 3.54 (高階導関数の計算例)   $y=e^{a\,x}$ の高階導関数を求める． 合成関数の微分を繰り返して

$$y =e^{a\,x}\,,$$

$$y' =a\,e^{a\,x}\,,$$

$$y''&=a^2\,e^{a\,x}\,,$$

$$y''' =a^3\,e^{a\,x}\,,$$

$$\vdots \nonumber$$

$$y^{(n)} =a^n\,e^{a\,x}\,$$

を得る．

例 3.55 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sin x\,,$$

$$y' =\cos x\,,$$

$$y''&=-\sin x\,,$$

$$y''' =-\cos x\,,$$

$$y^{(4)} =\sin x\,,$$

$$\cdots$$

$$y^{(n)} = \left\{ \begin{array}{ll} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \\ -\sin x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right.$$

$$y^{(n)} = \sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\,.$$

問 3.56 (高階導関数の例)   $y=\cos x$, $y=\sinh x$, $y=\cosh x$ の $y^{(n)}$ を求めよ．

例 3.57 (高階導関数の計算例)  

$$y =\sqrt{1-x}\,,$$

$$y' = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x}}= \frac{1}{2}\frac{(-1)}{\sqrt{1-x}}\,,$$

$$y''&= -\frac{1}{2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^3}}= \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{-1}{2}\right)\frac{(-1)^2}{\sqrt{(1-x)^3}} \,,$$

$$y''' = -\frac{1\cdot3}{2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}}= \left(\... ...t(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right) \frac{(-1)^3}{\sqrt{(1-x)^5}}\,,$$

$$y^{(4)} = -\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot2}\frac{1}{\sqrt{(1-x)^... ...t(\frac{-3}{2}\right)\left(\frac{-5}{2}\right) \frac{(-1)^4}{\sqrt{(1-x)^7}}\,,$$

$$\vdots$$

$$y^{(n)} = -\frac{(2n-3)!!}{2^n} \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2n-1}}}= \frac{\lef... ...{1}{2}\right)!}{\left(\frac{1}{2}-n\right)!} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(1-x)^{2n-1}}}$$

定義 3.58 (階乗の拡張)   整数 $n$ に対して $n!!$ を

$$n!!=n(n-2)!!, \quad 0!!=1, \quad (-1)!!=1$$

と定義する． すなわち奇数，偶数に対しては

$$(2n+1)!! =(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots7\cdot5\cdot3\cdot1\,,$$

$$(2n)!! =(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots8\cdot6\cdot4\cdot2\,$$

と表される．

問 3.59 (高階導関数)   $f(x)=\log\vert x\vert$ の高階導関数を求めよ．

平成21年6月1日