3.18 演習 〜 微分

問 3.38 (微分係数)   次の定義を述べよ．

    (1)  点 $x=a$ における関数 $f(x)$ の微分係数 $f'(a)$．     (2)  関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$．

問 3.39 (微分の性質)   次を証明せよ．ただし，$f,g$ は微分可能とする．
    (1)   $${(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x))'=\alpha\,'(x)+\beta\,g'(x)}$$     (2)   $(fg)'=f'g+fg'$

問 3.40 (微分可能)   次の関数について(i) 関数 $f(x)$ のグラフを描け． (ii) $f(x)$ の微分不可能な点を述べよ． また，この点における右微分係数，左微分係数を求めよ． (iii) 微分可能な範囲で導関数 $f'(x)$ を求めよ． (iv) $f'(x)$ のグラフを描け．
    (1)  $f(x)=x^2$     (2)  $f(x)=\vert x\vert$     (3)   $f(x)=\vert x-1\vert$     (4)   $f(x)=\vert x-x^2\vert$
    (5)   $${f(x)=\vert\log x\vert}$$ $(x>0)$

問 3.41 (初等関数の導関数)   次の関数の導関数を書け．
    (1)   $c\,($$c$：定数$)$     (2)   $x^{n}\,(n\in\mathbb{N})$     (3)   $\frac{1}{x^{n}}\,(n\in\mathbb{N})$     (4)   $\sqrt[n]{x}\,(n\in\mathbb{N})$     (5)   $x^{\alpha}\,(\alpha\in\mathbb{R})$
    (6)  $e^{x}$     (7)   $a^{x}\,(a>0)$     (8)  $\log x$     (9)  $\log_a x$     (10)  $\sin x$     (11)  $\cos x$     (12)  $\tan x$
    (13)   $\mathrm{Sin}^{-1} x$     (14)   $\mathrm{Cos}^{-1} x$     (15)   $\mathrm{Tan}^{-1} x$     (16)  $\sinh x$     (17)  $\cosh x$     (18)  $\tanh x$
    (19)   $\sinh^{-1}x$     (20)   $\tanh^{-1}x$     (21)   $\mathrm{Cosh}^{-1} x$

問 3.42 (導関数の導出)   次を証明せよ．ただし，$c$ は定数，$n$ は自然数とする．
    (1)   $${\frac{d}{dx}c=0}$$     (2)   $${\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}$$     (3)   $${\frac{d}{dx}\frac{1}{x^n}=\frac{-n}{x^{n+1}}}$$     (4)   $${\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x}=\frac{\sqrt[n]{x}}{n x}}$$
    (5)   $${\frac{d}{dx}\sin x=\cos x}$$     (6)   $${\frac{d}{dx}\cos x = - \sin x}$$     (7)   $${\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2x}}$$
    (8)   $${\frac{d}{dx}\mathrm{Sin}^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$     (9)   $${\frac{d}{dx}\mathrm{Cos}^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}$$     (10)   $${\frac{d}{dx}\mathrm{Tan}^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}}$$
    (11)   $${\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x}$$     (12)   $${\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x}$$     (13)   $${\frac{d}{dx}\tanh x=\frac{1}{\cosh^{2}x}}$$
    (14)   $${\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$$     (15)   $${\frac{d}{dx}\mathrm{Cosh}^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$$     (16)   $${\frac{d}{dx}\tanh^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}}$$
    (17)   $${\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}}$$     (18)   $${\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}}$$     (19)   $${\frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}}$$ ( $\alpha\in\mathbb{R}$)

問 3.43 (微分の計算)   次の関数の導関数を求めよ．
    (1)   $${(x^2-1)(x^3+2)}$$     (2)   $${(3x^2-x-1)^4}$$     (3)   $${(x^3+2x+1)^4}$$     (4)   $${(x-2)^2(x+2)}$$
    (5)   $${(x^2+1)^5(x^3-2)^3}$$     (6)   $${4x^{\frac{1}{2}}+3x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{3}{2}}}$$     (7)   $x^3(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$     (8)   $${\frac{x-2}{x^2+x+2}}$$     (9)   $${\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$$
    (10)   $${\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-2)^2}}$$     (11)   $${\sqrt{x^2+8x+1}}$$     (12)   $${\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}}$$     (13)   $${\sqrt[\leftroot{2} \uproot{2} 3]{\frac{x+2}{x^2+1}}}$$
    (14)   $${\sqrt[\leftroot{2} \uproot{2} 3]{\frac{x^2+1}{(x-1)^2}}}$$     (15)   $${\sin x^2}$$     (16)   $${\sin^3 4x}$$     (17)   $${x^3\sin 4x}$$     (18)   $${x^2\sin 2x}$$     (19)   $${\sin(2x^2-3x)}$$
    (20)   $${\frac{\sin x}{x^2+2}}$$     (21)   $${\cos x^2}$$     (22)   $${\cos(2x+3x^2)}$$     (23)   $${\cos^3 x}$$     (24)   $${x^2\cos 2x}$$     (25)   $${3\cos 4x+2\sin 2x}$$
    (26)   $${\mathrm{Sin}^{-1}(x^3+1)}$$     (27)   $${\mathrm{Sin}^{-1} \sqrt{x}}$$     (28)   $${x\sqrt{1-x^2}+\mathrm{Sin}^{-1} x}$$     (29)   $${\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}\right)}$$
    (30)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$$     (31)   $${\mathrm{Cos}^{-1} x^2}$$     (32)   $${2\mathrm{Cos}^{-1}\sqrt{\frac{x+1}{2}}}$$     (33)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{2}{x}\right)}$$     (34)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\frac{1-x^2}{1+x^2}}$$
    (35)  $2^x$     (36)   $${\frac{1}{x^2}+x^5-e^x+3}$$     (37)   $${e^{\sin x}}$$     (38)   $${\exp(\exp(x))}$$     (39)   $${\exp(\mathrm{Tan}^{-1} x)}$$
    (40)   $${\exp\left(-\left(\frac{x-2}{5}\right)^2\right)}$$     (41)   $${\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma}\right)}$$     (42)   $${\log \left( x+ \sqrt{x^2 +1} \right) }$$     (43)   $${\log\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}}$$
    (44)   $${\log(\log x)}$$     (45)   $${\sqrt{1+2\log x}}$$     (46)   $${x^{x}}$$    $(x>0)$     (47)   $${e^{x^x}}$$     (48)   $${(\sin x)^{\cos x}}$$     (49)   $${\left(\log x\right)^x}$$

問 3.44 (接線)   次の関数について (i) $f(x)$のグラフを書け． (ii) $x=a$における接線の方程式を求めよ． (iii) 接線のグラフを書け．
    (1)   $f(x)=x^2+2x-3$, $a=2$     (2)  $f(x)=x^3$, $a=2$
    (3)   $${f(x)=\log(x^2+1)}$$, $a=1$, $a=0$, $a=\sqrt{e-1}$     (4)   $f(x)=x\,\log x$, $a=1$, $a=e$
    (5)   $f(x)=\tan \left( 2x-\dfrac{\pi}{2} \right)$, $a=\dfrac{\pi}{3}$     (6)   $f(x)=e^x \cosh x$, $a=\pi$
    (7)   $${f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}$$, $${a=\frac{\pi}{3}}$$     (8)   $${f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{x^2}{2}}$$, $a=\sqrt{2}$

問 3.45 (接線)   次の曲線 $C$ の点 $P$ における接線の方程式を求めよ．
    (1)  $C$: $x=t^2+1$, $y=e^t$; $P(2,e)$     (2)  $C$: $x=\log(t^3+t)$, $y=\mathrm{Tan}^{-1}t$; $${P\left(2,\frac{\pi}{4}\right)}$$
    (3)  $C$: $x=a\cos^3t$, $y=a\sin^3t$; $P$ は $${t\ne\frac{n\pi}{2}}$$ ( $n\in\mathbb{Z}$) の点

問 3.46 (なめらかさ)   次の関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は連続関数であるか述べよ．
    (1)   $$\displaystyle{f(x)= \begin{cases} \displaystyle{x^2\sin\frac{1}{x}} & (x\neq0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}}$$     (2)   $$\displaystyle{f(x)= \begin{cases} \displaystyle{x^3\sin\frac{1}{x}} & (x\neq0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}}$$

問 3.47 (増減)   次の関数の増減，極値，最大値，最小値を調べグラフを描け．
    (1)   $${\frac{x^2-1}{x^2+1}}$$     (2)   $${x+\sqrt{1-x^2}}$$     (3)   $${x\log x}$$     (4)   $${x^{\frac{1}{x}}}$$

問 3.48 (不等式)   次の不等式を示せ．
    (1)   $${\frac{x}{1+x}\le\log(1+x)}$$ ($x\ge 0$)     (2)   $${1+x\le e^x \le\frac{1}{1-x}}$$ ($x<1$)
    (3)   $${\frac{x}{1+x^2}<\mathrm{Tan}^{-1}x<x}$$ ($x>0$)     (4)   $${x-\sin x<\tan x-x}$$ $\left(\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}}\right)$

平成21年6月1日