1.6 最大値，最小値

定義 1.15 (最大値，最小値) 集合 $X\subset\mathbb{R}$ に対して

$\forall x\in X$ , $x\le M$ をみたす最小な $M\in X$ が存在 $\Leftrightarrow$ $\max X = M$
$\forall x\in X$ , $m \le x$ をみたす最大な $m\in X$ が存在 $\Leftrightarrow$ $\min X = m$

$\max X$ を

の最大値（maximum）， $m\in X$ を

の最小値（minimum）という．

例 1.16 (最大値，最小値の具体例)

	$\displaystyle \max\mathbb{N}:$ 存在しない $\displaystyle ,$		$\displaystyle \min\mathbb{N}=1$
	$\displaystyle \max (1,2]=2,$		$\displaystyle \min (1,2]:$ 存在しない
	$\displaystyle \max \left\{\left.\,{(-1)^{n}}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}=1,$		$\displaystyle \min \left\{\left.\,{(-1)^{n}}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}=-1$
	$\displaystyle \max\left\{\left.\,{\frac{1}{2^n}}\,\,\right\vert\,\,{n=0,1,2,\cdots}\,\right\}=1,$		$\displaystyle \min\left\{\left.\,{\frac{1}{2^n}}\,\,\right\vert\,\,{n=0,1,2,\cdots}\,\right\}:$ 存在しない
	$\displaystyle \max \left\{\left.\,{x^2}\,\,\right\vert\,\,{-1\le x\le 1}\,\right\}=1,$		$\displaystyle \min \left\{\left.\,{x^2}\,\,\right\vert\,\,{-1\le x\le 1}\,\right\}=0$
	$\displaystyle \max \left\{\left.\,{x^2}\,\,\right\vert\,\,{-1<x<1}\,\right\}:$ 存在しない $\displaystyle ,$		$\displaystyle \min \left\{\left.\,{x^2}\,\,\right\vert\,\,{-1<x<1}\,\right\}=0$