例 4.23 (等比数列の極限)
等比数列
の極限を考える.
(i)
, (ii)
, (iii)
の場合に分けて議論する.
まず,(i)
のとき,常に
である.極限は
である.
つぎに,(iii)
のとき,
とおく.このとき
をみたす.
を
を用いて書き下すと
を得る.ここで
は
二項係数(binomial coefficient)であり,
と定義する.
は
階乗(fractorial number)であり,
と再帰的に定義する.
をあらためて書き直すと
となる.
第三項以降を足したものは正となるので,
を得る.
のとき
より
を得る.
最後に,(i)
のときを考える.
を用いて
を
と置き換える.
このとき
をみたす.
を用いて
を書き下すと,
を得る.
不等式
が成立する.
のとき
であるから,
はさみうちの定理より
を得る.
以上をまとめると
が求まる.
例 4.24 (極限)
漸化式
で与えられる数列の一般項は
と表され,
その極限は
となる.
例 4.25 (極限)
漸化式
により与えられる
数列の一般項は
と表される.よって,
かつ
のとき
は
0 に収束する.
それ以外は発散する.
平成21年6月1日