例 4.23 (等比数列の極限)
等比数列
![$ a_{n}=r^{n}\ (r>0)$](img1549.png)
の極限を考える.
(i)
![$ r>1$](img1550.png)
, (ii)
![$ r=1$](img1551.png)
, (iii)
![$ r>1$](img1550.png)
の場合に分けて議論する.
まず,(i)
![$ r=1$](img1551.png)
のとき,常に
![$ a_{n}=1$](img1552.png)
である.極限は
![$ 1$](img209.png)
である.
つぎに,(iii)
![$ r>1$](img1550.png)
のとき,
![$ r=1+h\ (h>0)$](img1553.png)
とおく.このとき
![$ r>1$](img1550.png)
をみたす.
![$ a_{n}$](img1482.png)
を
![$ h$](img1554.png)
を用いて書き下すと
を得る.ここで
![$ \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}$](img1556.png)
は
二項係数(binomial coefficient)であり,
と定義する.
![$ n!$](img1559.png)
は
階乗(fractorial number)であり,
と再帰的に定義する.
![$ a_{n}$](img1482.png)
をあらためて書き直すと
となる.
第三項以降を足したものは正となるので,
を得る.
![$ n\to\infty$](img1563.png)
のとき
![$ 1+nh\to\infty$](img1564.png)
より
![$ a_{n}\to\infty$](img1565.png)
を得る.
最後に,(i)
![$ r<1$](img1566.png)
のときを考える.
![$ h>0$](img932.png)
を用いて
![$ r$](img1567.png)
を
![$ r=1/(1+h)$](img1568.png)
と置き換える.
このとき
![$ r<1$](img1566.png)
をみたす.
![$ h$](img1554.png)
を用いて
![$ a_{n}$](img1482.png)
を書き下すと,
を得る.
不等式
が成立する.
![$ n\to\infty$](img1563.png)
のとき
![$ 1/(1+nh)\to0$](img1571.png)
であるから,
はさみうちの定理より
![$ a_{n}\to 0$](img1572.png)
を得る.
以上をまとめると
が求まる.
例 4.24 (極限)
漸化式
![$ a_{n+1}=p\,a_{n}+q$](img1574.png)
で与えられる数列の一般項は
と表され,
その極限は
となる.
例 4.25 (極限)
漸化式
![$ a_{n+2}=2p\,a_{n+1}+q\,a_{n}$](img1577.png)
により与えられる
数列の一般項は
と表される.よって,
![$ \vert\lambda_{1}\vert<1$](img1580.png)
かつ
![$ \vert\lambda_{2}\vert<1$](img1581.png)
のとき
![$ a_{n}$](img1482.png)
は
0 に収束する.
それ以外は発散する.
平成21年6月1日