4.12 数列の有界性と単調性

定義 4.29 (有界数列)   数列 $ \{a_{n}\}$ に対して次の性質を定義する. 有界な数列を有界数列(bounded sequence)と呼ぶ.

4.30 (有界な数列の具体例)   $ a_{n}=(-1)^{n-1}$ $ -1\leq a_{n}\leq 1$ をみたすので有界である.

定義 4.31 (単調数列)   数列 $ \{a_{n}\}$ に対して次の性質を定義する. 単調増加もしくは単調減少な数列を総称して 単調数列(monotonic sequence)と呼ぶ.

定理 4.32 (有界な単調数列の収束性)   有界な広義の単調数列は収束する.

4.33 (有界な単調数列の具体例)   数列

$\displaystyle a_{n}=\frac{2n-3}{5n+1}$    

を考える.

$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\frac{17}{(5n+6)(5n+1)}>0 \qquad \Rightarrow \qquad a_{n}<a_{n+1}$    

をみたすので $ a_{n}$ は単調増加である. 初項 $ a_{1}=-1/6$ は下界となる. 上界は

$\displaystyle \frac{2}{5}-a_{n}=\frac{17}{5(5n+1)}>0 \qquad \Rightarrow\qquad a_{n}< \frac{2}{5}$    

により求まる. $ -1/6\leq a_{n}<2/5$ となるので $ a_{n}$ は有界である. 定理より $ a_{n}$ は収束する. 実際,極限を求めると

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}= \lim_{n\to\infty}\frac{2n-3}{5n+1}= \lim_{n\to\infty}\frac{2-3/n}{5+1/n}= \frac{2-0}{5+0}=\frac{2}{5}$    

と得られる.


平成21年6月1日