4.13 演習 〜 数列

問 4.34 (数列の極限)   極限 $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$ の定義を述べよ．

問 4.35 (数列)   次の数列について     (i)概形を書け．(ii)一般項を表せ．(iii)極限を求めよ．
    (1)   $1,3,9,27,81,243,\dots$     (2)   $2,4,8,16,32,64,\dots$     (3)   $3,7,11,15,19,23,\dots$     (4)   $${1,\frac{1}{2},\frac{3}{7}, \frac{2}{5},\frac{5}{13},\frac{3}{8},\cdots}$$
    (5)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11}, \frac{1}{14},\cdots}$$     (6)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots}$$     (7)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11}, \frac{1}{14},\cdots}$$     (8)   $${1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7}, \frac{1}{9},\frac{1}{11}\cdots}$$
    (9)   $${\frac{1}{3},\frac{5}{9},\frac{5}{7}, \frac{17}{21},\frac{13}{15},\frac{37}{41},\cdots}$$     (10)   $${\frac{1}{3},\frac{3}{4},1,\frac{7}{6},\frac{9}{7},\frac{11}{8},\dots}$$     (11)   $${1,\frac{3}{4},\frac{5}{7}, \frac{7}{10},\frac{9}{13},\frac{11}{16},\cdots}$$
    (12)   $${1,\frac{3}{4},\frac{5}{7}, \frac{7}{10},\frac{9}{13},\frac{11}{16},\cdots}$$     (13)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \frac{1}{5},\frac{1}{6}\cdots}$$

問 4.36 (数列)   次の一般項で定義される数列について (i)概形を書け．(ii)有限確定，有限不確定, 無限確定，無限不確定 のいずれであるか答えよ．
    (1)  $a_n= n$     (2)  $a_n= -n$     (3)   $a_n= (-1)^{n-1}$     (4)   $${a_n= (-1)^{n-1}n}$$     (5)   $a_n= (-1)^n2^{-n}$
    (6)   $${a_n=\frac{1}{n}}$$     (7)   $${a_n=\frac{1}{n(n+1)}}$$

問 4.37 (等比数列)   等比数列$a_n=r^n$ $(0<r<1)$の極限が0になることを証明せよ．

問 4.38 (数列の極限)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{n+5}{1-2n}}$$     (2)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+5n-3}{n^2+3n}}$$     (3)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n-1}{n-2}}$$     (4)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+7n-4}{n^2+n+1}}$$
    (5)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}}$$     (6)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^4+3n^2}{n^2+2n-3}}$$     (7)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(1+n)^4}{(1+2n^2)^2}}$$     (8)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n}}$$
    (9)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+2}}{3n-1}}$$     (10)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}+2^n}{3^n}}$$     (11)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n-1}}{1+2^n}}$$     (12)   $${\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$$
    (13)   $${\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$$     (14)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}$$     (15)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}$$
    (16)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}}$$ $(\alpha\in\mathbb{R})$     (17)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{6n}\right)^{-3n}}$$     (18)   $${\lim_{n\to\infty}n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$

問 4.39 (数列の性質)   数列(1)-(3)について次の問い(i)-(iv)に答えよ．
    (1)   $${a_{n}=\frac{n+1}{2^{n}}}$$     (2)  $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+1}$     (3)  $a_1=1$, $${a_{n+1}=\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}$$
    (i)  数列 $\{a_{n}\}$ の概形を書け．
    (ii)  数列 $\{a_{n}\}$ は単調数列（単調減少または単調増加）であることを示せ．
    (iii)  数列 $\{a_{n}\}$ は（上または下に）有界であることを示せ．
    (iv)  極限 $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$ を求めよ．

問 4.40 (数列の性質)   次の数列 $A$ の $\sup A$, $\inf A$, $\max A$, $\min A$ を求めよ．
    (1)   $A=\left\{\left.\,{(-1)^n}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}$     (2)   $A=\left\{\left.\,{\frac{1}{2n}}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}$     (3)   $A=\left\{\left.\,{1-\frac{1}{n}}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}$
    (4)   $A=\left\{\left.\,{\frac{1}{n}-1}\,\,\right\vert\,\,{n\in\mathbb{N}}\,\right\}$

平成21年6月1日