4.19 正項級数に関するダランベールの収束判定法

定理 4.74 (ダランベールの収束判定法)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$$ は， 極限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$$

により，級数の収束性の判定ができる：

(i)

$0\leq L<1$ のとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

(ii)

$L>1$ のとき， $\sum a_{n}$ は発散する．

(iii)

$L=1$ のとき， $\sum a_{n}$ の収束性は判定できない．

例 4.75 (ダランベールの判定法の具体例)   級数 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}}$ を考える． $${a_{n}=\frac{1}{n!}}$$ とおくと，

$$L= \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{\... ...{1}{n!}}= \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}= 0$$

が成り立つ． ダランベールの収束判定法を用いる． $L<1$ であるから$S$ は収束する．

例 4.76 (ダランベールの判定法の具体例)   級数 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}}$ を考える．

$$a_{n}=\frac{n^2}{n!},\quad L= \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n... ...fty}\frac{n+1}{n^2}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)= 0$$

より，ダランベールの収束判定法を用いると， $L<1$ であるから$S$ は収束する．

例 4.77 (ダランベールの判定法の具体例)   級数 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}}$ を考える． $${a_{n}=\frac{n^n}{n!}}$$ より

$$L= \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{\... ...\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$

となり，ダランベールの収束判定法を用いると， $L=e>1$ であるから$S$ は発散する．

例 4.78 (ダランベールの判定法の具体例)   級数 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^{n}}}$ を考える． $${a_{n}=\frac{n!}{2^n}}$$ より

$$L= \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{\... ..._{n\to\infty}\frac{(n+1)!2^n}{2^{n+1}n!}= \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}=\infty$$

となり，ダランベールの収束判定法を用いると， $L=\infty>1$ であるから$S$ は発散する．

例 4.79 (ダランベールの判定法の具体例)   級数 $S=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}n\sin\frac{\pi}{2^{n}}}$ を考える． $${a_{n}=n\sin\frac{\pi}{2^n}}$$ より

$$L= \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{(... ...o\infty} \frac{n+1}{n} \frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin2\frac{\pi}{2^{n+1}}}$$

$$= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin\frac{\p... ...rac{1+\frac{1}{n}}{2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}}= \frac{1+0}{2\times 1}=\frac{1}{2}$$

となり，ダランベールの収束判定法を用いると， $L=1/2<1$ であるから$S$ は収束する．

例 4.80 (ダランベールの判定法の具体例)   級数

$$S = 1+\vert x\vert+ \frac{\vert x\vert^2}{2}+ \frac{\vert x\vert^3}... ...= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!} \qquad (x\in\mathbb{R})$$

を考える． $${a_{n}=\frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}>0}$$ であるから， $S$ は正項級数である． よって

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{... ...} \frac{(n-1)!}{\vert x\vert^{n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\vert x\vert}{n}=0$$

が成り立つので，ダランベールの判定法より級数は収束する．

例 4.81 (ダランベールの判定法で判定できない例)   調和級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を考える． 隣り合う項の比の極限は

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\times\frac{n}{1}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$$

となるのでダランベールの判定法定法では判定できない． 前述のように別の方法で行う．

平成21年6月1日