4.21 交項級数

定義 4.85 (交項級数)   級数

$\displaystyle S$ $\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n} \quad(b_{n}\geq0)$    

交項級数(alternative term series)と呼ぶ.

定理 4.86 (交項級数の収束定理)   交項級数 $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}}$ は 条件(i) $ b_{n}\geq b_{n+1}$, (ii) $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$ をみたすとき収束する.


(証明)$ n$ が偶数のときの有限部分和は

  $\displaystyle S_{2n}= (b_1-b_2)+(b_3-b_4)+\cdots+(b_{2n-1}-b_{2n})= \sum_{k=1}^{n}\left(b_{2k-1}-b_{2k}\right),$    
  $\displaystyle S_{2n+2}-S_{2n}=b_{2n}-b_{2n+2}\geq 0$    

と書ける. $ S_{2n+2}\geq S_{2n}$ となるので, 数列 $ S_{2},S_{4},\cdots,S_{2n},\cdots$ は正項級数でかつ単調増加となる. さらには $ S_{2n}$

$\displaystyle S_{2n}=b_{1}-\sum_{k=1}^{n-1}\left(b_{2k}-b_{2k+1}\right)-b_{2n}$    

とも書ける. $ b_{2k}-b_{2k+1}\geq0$, $ b_{2k}\geq0$ であるから, $ S_{2n}\leq b_{1}$ となる.よって $ S_{n}$

$\displaystyle 0\leq S_{2n}\leq b_{1}$    

をみたす.$ S_{2n}$ は有界な単調増加数列である. よって $ S_{2n}$ は極限 $ \displaystyle{S=\lim_{n\to\infty}S_{2n}}$ が存在する. 次に $ n$ が奇数にる場合を考える. $ S_{2n+1}$ の極限は

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{2n+1}$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty}(S_{2n}+b_{2n+1})=S+0=S$    

と得られる.以上で証明終了.

4.87 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $ \displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}}$ は 収束する. なぜなら $ b_{n}=1/2^{n}>b_{n+1}=1/2^{n+1}$ であり, $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$ であるから, 定理より級数は収束する.

4.88 (交項級数の収束定理の具体例)   級数 $ \displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$ は 収束する. なぜなら $ b_{n}=1/n>b_{n+1}=1/(n+1)$ であり, $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}=0}$ であるから, 定理より級数は収束する.


平成21年6月1日