2.2 極限

定義 2.8 (極限)   関数 $f(x,y)$ において， 定義域内の点 $P(x,y)$ を点 $A(a,b)$ に近づけるとする． ただし $(x,y)\neq(a,b)$ とする． このとき， 近づけ方に依らず $f(x,y)$ が同じ 1 つの値 $c$ に近づくならば， $f(x,y)$ は極限（limit） $c$ が存在する， または， $f(x,y)$ は $c$ に収束する（convergent） といい，

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=c, \lim_{x\to a,y\to b}f(x,y)=c,$$

$$\lim_{P\to A}f(x,y)=c, f(x,y)\to c\quad(x\to a,y\to b)$$

と表記する．

注意 2.9 (極限)   $A\in D$ とは限らない．

注意 2.10 (極限)   近づけ方によって，$f(x,y)$ の値が異なるときは，極限が存在しない．

例 2.11 (極限)   関数

$$f(x,y)= \frac{x^2}{x^2+y^2}, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{(x,y)\neq (0,0)}\,\right\}$$

の原点 $(0,0)$ への極限を考える． $(0,0)\notin D$ であることに注意する．

(a) $x$ 軸（$y=0$ の直線）に沿って近づける場合． $y=0$ を代入した後に $x\to 0$ の極限を考える． このとき，

$$\lim_{y=0,x\to0}f(x,y)= \lim_{x\to0}f(x,0)= \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+0}= \lim_{x\to0}1=1$$

が成り立つ．

(b) $y$ 軸（$x=0$ の直線）に沿って近づける場合． $x=0$ を代入した後に $y\to 0$ の極限を考える． このとき，

$$\lim_{x=0,y\to0}f(x,y)= \lim_{y\to0}f(0,y)= \lim_{y\to0}\frac{0}{0+y^2}= \lim_{y\to0}0=0$$

が成り立つ．

(c) 直線 $y=mx$ に沿って近づける場合． ただし，$m$ は任意の実数とする． $y=mx$ を代入した後に $x\to 0$ の極限を考える． このとき，

$$\lim_{y=mx,x\to0}f(x,y)= \lim_{x\to0}f(x,mx)= \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+m^2x^2}= \lim_{x\to0}\frac{1}{1+m^2} =\frac{1}{1+m^2}$$

が成り立つ．

(a), (b), (c)より， 近づけ方が異なれば $f(x,y)$ が近づく値も変わるので， 極限 $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}}$$ は存在しない．

例 2.12 (極限)   関数

$$f(x,y)= \frac{\sin(x+y)}{x+y}, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x+y\neq0}\,\right\}$$

の原点 $(0,0)$ への極限を考える． $x+y\neq 0$ であることに注意する． (a) $y$ 軸（$x=0$ の直線）に沿って近づける場合． $x=0$ を代入した後に $y\to 0$ の極限を考える． このとき，

$$\lim_{x=0,y\to0}f(x,y)= \lim_{y\to0}f(0,y)= \lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1$$

が成り立つ． (b) 直線 $y=mx$ に沿って近づける場合． ただし，$m$ は $m\neq -1$ の任意の実数とする． $y=mx$ を代入した後に $x\to 0$ の極限を考える． このとき，

$$\lim_{y=mx,x\to0}f(x,y)= \lim_{x\to0}f(x,mx)= \lim_{x\to0}\frac{\sin(x+mx)}{x+mx}= \lim_{\xi\to0}\frac{\sin\xi}{\xi}=1$$

が成り立つ． ここで， $\xi=(1+m)x$ とおいた． (a), (b), より， 全方向から近づけたとき同じ値 $1$ に収束するので， 極限

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y} =1$$

が存在する．

例 2.13 (極限)   関数

$$f(x,y)= \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{(x,y)\neq (0,0)}\,\right\}$$

の原点 $(0,0)$ への極限を考える． 全方向から近づけるために，

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta$$

とおき，$r\to0$ の極限を考える． ただし，$\theta$ は $0\leq\theta<2\pi$ の 任意の実数とする． このとき，

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)= \lim_{r\to0}f(r\cos\theta,r\sin\theta... ...r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to0} r(\cos^3\theta+\sin^3\theta) =0$$

となり， 極限

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} =0$$

が存在する．

例 2.14 (極限)   関数 $${f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}}$$ を考える． この関数の定義域は一見すると $D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{(x,y)\neq(0,0)}\,\right\}$ と見える． しかし，$x=y^2$ のときを考えると，

$$f(y^2,y)=\frac{y^2y^2}{(y^2)^2+y^4}= \frac{y^4}{y^4+y^4}= \frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}$$

となる．よって，この関数は正しくは，

$$f(x,y)= \begin{cases}\displaystyle{\frac{xy^2}{x^2+y^4}} & (x,y)\... ...in\tilde{D} \\ [1ex] \displaystyle{\frac{1}{2}} & (x,y)\in\tilde{D} \end{cases}$$

となる．ただし， $\tilde{D}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=y^2}\,\right\}$ である． 定義域は $xy$ 平面全体となる． 原点への極限は $(x,y)$ が領域 $\tilde{D}$ の中にないときは，

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}= \lim_{r\to0}\frac{r^3\c... ...a)}= \lim_{r\to0}\frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}=0$$

と極限が存在する． しかし， $(x,y)\in\tilde{D}$ に対して常に $f(x,y)=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ であり， 原点の近傍でもこれが成り立つ． よって，原点への極限は存在しない．

平成21年1月14日