2.7 多変数関数の偏微分

定義 2.33 (多変換数の導関数)   $ n$ 変数関数 $ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(\vec{x})$ の 偏導関数は

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}$ $\displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_1,\cdots,x_j+h,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_n)}{h}$    
  $\displaystyle = \lim_{h\to 0} \frac{f(\vec{x}+h\vec{e}_j)-f(\vec{x})}{h}$    

と定義する. ただし,

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}...
...uad \cdots, \quad \vec{e}_n= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$    

とおく.

2.34 (多変換数の導関数)   関数 $ w=f(x,y,z)=\sin(2x-y)\cos(y+3z)$ の 偏導関数は,

$\displaystyle w_{x}= \frac{\partial f}{\partial x}$ $\displaystyle =2\cos(2x-y)\cos(y+3z),$    
$\displaystyle w_{y}= \frac{\partial f}{\partial y}$ $\displaystyle =-\cos(2x-y)\cos(y+3z)-\sin(2x-y)\sin(y+3z) =-\cos(2x-2y-3z),$    
$\displaystyle w_{z}= \frac{\partial f}{\partial z}$ $\displaystyle =-3\sin(2x-y)\sin(y+3z)$    

となる.

2.35 (多変換数の導関数)   関数 $ r=r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ の 偏導関数は,

$\displaystyle r_x$ $\displaystyle = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_x= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{x}{r},$    
$\displaystyle r_y$ $\displaystyle = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_y= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{y}{r},$    
$\displaystyle r_z$ $\displaystyle = (\sqrt{x^2+y^2+z^2})_z= \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2)_z = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{z}{r}$    

となる.


平成21年1月14日