2.6 偏微分

定義 2.25 (偏微分,偏微分係数)   関数 $ f(x,y)$ の点 $ (a,b)$ において, 極限

$\displaystyle \frac{\partial f(a,b)}{\partial x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a...
...(a,b)}{\partial y}= \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$    

が存在するとき, 関数 $ f(x,y)$ は 点 $ (a,b)$ において, $ x$ または $ y$ に関して 偏微分可能(partial differentiable) であるという. この極限を 偏微分係数(partial differential coefficient)という.

定義 2.26 (偏動関数)   定義 $ D$ 内の任意の点 $ (x,y)$ に対して極限

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Del...
...ial f}{\partial y}= \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$    

が存在するとき, これらを偏導関数(partial derivative)という. 偏導関数を求める操作を偏微分するという.

注意 2.27 (偏微分の記号)   関数 $ z=f(x,y)$ の偏導関数は

  $\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial x}, \quad f_x(x,y), \quad f_x, \quad z_x,$    
  $\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}, \quad f_y(x,y), \quad f_y, \quad z_y$    

と表記する.

注意 2.28 (偏微分)   関数 $ z=f(x,y)$ のグラフは $ xyz$ 空間内の曲面となる. このグラフと平面 $ y=b$ との共有点のグラフは $ z=f(x,b)$ で与えられる曲線となる. このとき関数 $ f(x,b)$$ x$ についての 1 変数関数であるから, $ x$ について微分すれば曲線 $ z=f(x,b)$ の 傾き $ f_x(x,b)$ が得られる.

同様にしてグラフ $ z=f(x,y)$ と平面 $ x=a$ との共有点の曲線 $ z=f(a,y)$ は, $ y$ についての 1 変数関数であるから, $ y$ について微分すれば曲線 $ z=f(a,y)$ の傾き $ f_y(a,y)$ が得られる.

注意 2.29 (偏微分)   $ x$ に関する偏微分の定義式において, $ y$ は定数と考えて $ x$ 方向の極限のみを考えている. 同様にして, $ y$ に関する偏微分の定義式は, $ x$ は定数と考えて $ y$ 方向の極限のみを考えている. このとき定義式は $ x$$ y$ についての 1 変数関数の微分とそれぞれ等価となる. よって,ひとつの独立変数を除いて他のすべての独立変数を 定数と考えて 1 変数関数の微分をすればよい.

2.30 (偏微分)   関数

$\displaystyle f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$    

$ x$ で偏微分すると,

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ $\displaystyle = \frac{\partial}{\partial x} (2x^3+5xy+2y^2) = \frac{\partial}{\...
...partial x}x^3+ 5y\frac{\partial}{\partial x}x+ 2y^2\frac{\partial}{\partial x}1$    
  $\displaystyle = 2\times 3x^2+ 5y\times 1+ 2y^2\times 0 = 6x^2+5y$    

となり,$ x$ に関する偏導関数が得られる. $ y$ で偏微分すると,

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ $\displaystyle = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3+5xy+2y^2) = \frac{\partial}{\...
...}{\partial y}1+ 5x\frac{\partial}{\partial y}y+ 2\frac{\partial}{\partial y}y^2$    
  $\displaystyle = 2x^3\times0+5x\times1+2\times2y =5x+4y$    

となり,$ y$ に関する偏導関数が得られる.

2.31 (偏微分係数)   関数 $ f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$ の点 $ (1,-2)$ における偏微分係数は

  $\displaystyle f_x(1,-2)= 6x^2+5y\,\,\Big\vert _{x=1,y=-2} = 6\times 1^2+5\times(-2)=-4,$    
  $\displaystyle f_y(1,-2)= 5x+4y\,\,\Big\vert _{x=1,y=-2} = 6\times 1+4\times(-2)=-3$    

となる.

2.32 (偏微分)   関数 $ f(x,y)=e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)$ の 偏導関数は,

$\displaystyle f_x$ $\displaystyle = (e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y))_x$    
  $\displaystyle = (e^{x-y})_x\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(\sin(2x^2-3xy+4y))_x$    
  $\displaystyle = e^{x-y}(x-y)_x\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(2x^2-3xy+4y)_x\cos(2x^2-3xy+4y)$    
  $\displaystyle = e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(4x-3y)\cos(2x^2-3xy+4y)$    
  $\displaystyle = e^{x-y}\left( \sin(2x^2-3xy+4y)+ (4x-3y)\cos(2x^2-3xy+4y)\right),$    
$\displaystyle f_y$ $\displaystyle = (e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y))_y$    
  $\displaystyle = (e^{x-y})_y\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(\sin(2x^2-3xy+4y))_y$    
  $\displaystyle = e^{x-y}(x-y)_y\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(2x^2-3xy+4y)_y\cos(2x^2-3xy+4y)$    
  $\displaystyle = -e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(-3x+4)\cos(2x^2-3xy+4y)$    
  $\displaystyle = -e^{x-y}\left(\sin(2x^2-3xy+4y)+(3x-4)\cos(2x^2-3xy+4y)\right)$    

となる.


平成21年1月14日