2.17 演習問題 〜 ランダウの記号，全微分

問 2.75 (ランダウの記号)   次の式をみたす $g(x),h(x)$ を書け．
    (1)   $${\sin x-x=o(g(x))=O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$$     (2)   $${\cos x=1+o(g(x))=1+O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$$
    (3)   $${\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(g(x))=x-\frac{x^2}{2}+O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$$
    (4)   $${\sqrt{x^2+x}=o(g(x))=O(h(x))\quad (x\rightarrow \infty)}$$

問 2.76 (ランダウの記号)   次の評価式の をうめて評価式を完成せよ．
    (1)   $${e^{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{\... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$     (2)   $${e^{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{\... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (3)   $${\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$     (4)   $${\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (5)   $${\log(1+x)=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\te... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (6)   $${\log(1+x)=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\te... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (7)   $${\log(1+x)-\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$... ...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (8)   $${\frac{\sinh x}{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square... ...$}}}x^2+o(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$$
    (9)   $${\sinh\,x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})= \text{\scalebox{1.3}{\raisebox... ...}}}\,x^3+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad(x\to0)}$$

問 2.77 (全微分)   次の関数が全微分可能であるか議論せよ．
    (1)  $z=xy$     (2)  $z=x+y$     (3)   $${z=\frac{x^2}{y}}$$     (4)   $${z=\vert x+y\vert}$$
（ヒント）次の手順(i)-(v)で議論する． (i) 点 $(x,y)$ から点 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ への 増分 $\Delta z$ を求める． (ii) $\Delta z=\alpha \Delta x+\beta \Delta y+\epsilon$, $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ とおき， $${\epsilon/\rho}$$ を求める． (iii) $\Delta x=\rho\cos\theta,\Delta y=\rho\sin\theta$ とおき， 極限 $${\lim_{\rho\to 0}\epsilon/\rho}$$ を求める． (iv) $${\lim_{\rho\to 0}\epsilon/\rho=0}$$ を みたす有限な $\alpha,\beta$ を決定する． (v) $\Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho)$ ($\rho\to 0$) をみたす有限な $\alpha,\beta$ が一意に存在することを示す．

問 2.78 (全微分)   次の関数の全微分を求めよ．
    (1)   $${z=x^2e^{xy}}$$     (2)   $${z=x^4y+x^2y^3+xy^4}$$     (3)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$     (4)   $u=xy+yz+zx$
    (5)   $${z=x^4+3x^2y+y^5}$$     (6)   $${z=3x^4y-5x^2y^3+2xy^4}$$     (7)   $${z=x\,\cos y-y\,\cos x}$$
    (8)   $${z=\frac{e^{xy}}{e^x+e^y}}$$     (9)   $${z=\mathrm{Sin}^{-1}x^2y}$$     (10)   $${z=\mathrm{Sin}^{-1}{\frac{x}{y}}}$$

問 2.79 (全部分可能性と連続性)   次を示せ．
    (1)   関数 $f(x,y)$ が全微分可能なとき， $f(x,y)$ は偏微分可能である．
    (2)   関数 $f(x,y)$ が全微分可能なとき， $f(x,y)$ は連続である．

問 2.80 (2 変数関数の微分)   関数 $${f(x,y)=\frac{1}{\sin x+\cos y}}$$ に対して，次の問に答えよ．
    (1)  偏導関数 $f_x$，$f_y$ を求めよ．     (2)  偏微係数 $f_x(0,0)$，$f_y(0,0)$ を求めよ．
    (3)  全微分 $df$ を求めよ．     (4)  原点において関数 $f(x,y)$ は連続であるか示せ．
    (5)  関数 $F(x,y)=f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)$ を求めよ．

平成21年1月14日