2.19 2 変数関数 と 1 変数関数の合成関数の微分
定理 2.82 (合成関数の微分) 全微分可能な 2 変数関数と 1 変数関数
,
との 合成関数
の導関数は
となる.また,代入も含めて正確に書くと
となる.
(証明) 関数
は全微分可能であり, 関数
,
は微分可能とする. このとき
が成り立つ.または,
と表される. ただし,とおく. このとき,
が成り立つ.の極限をとると,
,
,
より,
,
であり,
となるので,
を得る.
例 2.83 (合成関数の微分) 関数,
,
の合成関数
の導関数は,
より
となる.
例 2.84 (合成関数の微分) 関数,
,
の 合成関数の導関数は,
より
となる.
例 2.85 (合成関数の微分) 関数,
,
の合成関数の微分は,
より
となる.
例 2.86 (合成関数の微分) 関数において, 合成関数
の
を求める.
,
より
となる. さらにこの式の両辺を微分して
も求める. 上式の結果と第 1 項目の積の微分に注意して計算すると,
を得る.
例 2.87 (合成関数の微分) 関数,
の 合成関数
の
微分を考える. まず,
,
と置き換えて,
を
で微分する.
,
より
となる.を
に置き換えると
を得る. 同様にして,
を得る.
例 2.88 (合成関数の微分) 関数を用いて関数
を考える. このとき
で微分すると
となる.さらに微分して
となる.
例 2.89 (合成関数の微分) 関数の 3 階導関数は
となる.
例 2.90 (合成関数の微分),
,
のとき,
となる.
平成21年1月14日