2.19 2 変数関数 と 1 変数関数の合成関数の微分

定理 2.82 (合成関数の微分)   全微分可能な 2 変数関数 $z=f(x,y)$ と 1 変数関数 $x=\phi(t)$, $y=\psi(t)$ との 合成関数 $z=f(\phi(t),\psi(t))$ の導関数は

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

となる．また，代入も含めて正確に書くと

$$\frac{d}{dt} f(\phi(t),\psi(t)) = f_x(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+ f_y(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)$$

となる．

（証明）     関数 $z=f(x,y)$ は全微分可能であり， 関数 $x=\phi(t)$, $y=\psi(t)$ は微分可能とする． このとき

$$dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy, \quad dx=\phi'(t)dt, \quad dy=\psi'(t)dt$$

が成り立つ．または，

$$\Delta z =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\varepsilon_1, \quad \varepsilon_1(\rho)=o(\rho)\quad(\rho\to0),$$

$$\Delta x =\phi(t+\Delta t)-\phi(t)=\phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2, \quad \varepsilon_2(\Delta t)=o(\Delta t)\quad(\Delta t\to0),$$

$$\Delta y =\psi(t+\Delta t)-\psi(t)=\psi'(t)\Delta t+\varepsilon_3, \quad \varepsilon_3(\Delta t)=o(\Delta t)\quad(\Delta t\to0)$$

と表される． ただし， $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ とおく． このとき，

$$\frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{f(\phi(t+\Delta t),\psi(t+\Delta t))-f(\phi(t),\psi(t))}{\Delta t} = \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta t}$$

$$= \frac{f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\varepsilon_1}{\Delta t... ...x}{\Delta t}+ f_y(x,y)\frac{\Delta y}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta t}$$

$$= f_x(x,y)\frac{\phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2}{\Delta t}+ f_y(x,y)\frac{\psi'(t)\Delta t+\varepsilon_3}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta t}$$

$$= f_x(x,y)\phi'(t)+ f_y(x,y)\psi'(t)+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta... ..._x(x,y) \frac{\varepsilon_2}{\Delta t}+ f_y(x,y) \frac{\varepsilon_3}{\Delta t}$$

が成り立つ． $\Delta t\to 0$ の極限をとると， $\varepsilon_2(\Delta t)=o(\Delta t)$, $\varepsilon_3(\Delta t)=o(\Delta t)$, $\varepsilon_1(\rho)=o(\rho)$ より， $${\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_2(\Delta t)}{\Delta t}=0}$$, $${\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_3(\Delta t)}{\Delta t}=0}$$ であり，

$$\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_1}{\Delta t}= \lim_{\Delta t... ...{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+ \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\right)$$

$$= \left(\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_1}{\rho}\right) \lef... ...varepsilon_3}{\Delta t}\right)^2}\right) =0\times\sqrt{\phi'(t)^2+\psi'(t)^2}=0$$

となるので，

$$\lim_{\Delta t\to0} \frac{\Delta z}{\Delta t}= f_x(x,y)\phi'(t)+ f_y(x,y)\psi'(t) = f_x(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+ f_y(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)$$

を得る．

例 2.83 (合成関数の微分)   関数 $z=f(x,y)$, $x=2t-3$, $y=-t+1$ の合成関数 $z=f(2t-3,-t+1)$ の導関数は，

$$\frac{dx}{dt}=2, \qquad \frac{dy}{dt}=-1$$

より

$$\frac{dz}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =2f_x(2t-3,-t+1)-f_y(2t-3,-t+1)$$

となる．

例 2.84 (合成関数の微分)   関数 $z=xy^2-x^2y$, $x=t^2$, $y=e^t$ の 合成関数の導関数は，

$$\frac{\partial z}{\partial x}= y^2-2xy= e^{2t}-2t^2e^{t}, \quad \... ...rtial y}= 2xy-x^2= 2t^2e^t-t^4, \quad \frac{dx}{dt}=2t, \quad \frac{dy}{dt}=e^t$$

より

$$\frac{dz}{dt}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{... ...dy}{dt} = (e^{2t}-2t^2e^{t})2t+ (2t^2e^t-t^4)e^t = 2(t^2+t)e^{2t}-(t^4+4t^3)e^t$$

となる．

例 2.85 (合成関数の微分)   関数 $z=x^3y^2$, $x=t^2$, $y=t^4$ の合成関数の微分は，

$$z_x=3x^2y^2=3t^4t^8=3t^{12}, \quad z_y=2x^3y=2t^6t^4=2t^{10}, \quad x'=2t, \quad y'=4t^3$$

より

$$\frac{dz}{dt}=z_xx'+z_yy'= (3t^{12})(2t)+(2t^{10})(4t^3)= 14t^{13}$$

となる．

例 2.86 (合成関数の微分)   関数 $z=f(x,y)$ において， 合成関数 $z=f(g(t),t)$ の $${\frac{dz}{dt}}$$ を求める． $${\frac{dx}{dt}=g'(t)}$$, $${\frac{dy}{dt}=1}$$ より

$$\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}f(g(t),t)= \frac{\partial f}{\partial x... ...}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =f_{x}(g(t),t)g'(t)+f_{y}(t,g(t))$$

となる． さらにこの式の両辺を $t$ 微分して $${\frac{d^{2}z}{dt^{2}}}$$ も求める． 上式の結果と第 1 項目の積の微分に注意して計算すると，

$$\frac{d^{2}z}{dt^{2}}= \frac{d}{dt}\left( f_{x}(g(t),t)g'(t)+f_{y... ...es g'(t) + f_{x}(g(t),t) \times \frac{d}{dt} g'(t) + \frac{d}{dt} f_{y}(t,g(t))$$

$$= \left( f_{xx}(g(t),t)g'(t)+ f_{xy}(g(t),t) \right)g'(t)+ f_{x}(g(t),t)g''(t)+ f_{yx}(g(t),t)g'(t)+ f_{yy}(g(t),t)$$

$$= f_{x}(g(t),t)g''(t)+ f_{xx}(g(t),t)(g'(t))^{2}+ 2f_{xy}(g(t),t)g'(t)+ f_{yy}(g(t),t)$$

を得る．

例 2.87 (合成関数の微分)   関数 $z=f(x,y)$, $y=g(x)$ の 合成関数 $z=f(x,g(x))$ の $x$ 微分を考える． まず，$x=t$, $y=g(t)$ と置き換えて， $z=f(t,g(t))$ を $t$ で微分する． $${\frac{dx}{dt}=1}$$, $${\frac{dy}{dt}=g'(t)}$$ より

$$\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}f(t,g(t))= \frac{\partial f}{\partial x... ...}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =f_{x}(t,g(t))+f_{y}(t,g(t))g'(t)$$

となる．$t$ を $x$ に置き換えると

$$\frac{dz}{dx}= \frac{d}{dx}f(x,g(x))= f_{x}(x,g(x))+f_{y}(x,g(x))g'(x)$$

を得る． 同様にして，

$$\frac{d^{2}z}{dx^{2}}= f_{y}(x,g(x))g''(x)+ f_{xx}(x,g(x))+ 2f_{xy}(x,g(x))g'(x)+ f_{yy}(x,g(x))(g'(x))^{2}$$

を得る．

例 2.88 (合成関数の微分)   関数 $z=f(x,y)$ を用いて関数 $F(t)=f(at,bt)$ を考える． このとき $t$ で微分すると

$$\frac{dF}{dt}= af_{x}(at,bt)+bf_{y}(at,bt)$$

となる．さらに微分して

$$\frac{d^2F}{dt^2} = \frac{d}{dt}\frac{dF}{dt}= a\frac{d}{dt}f_{x}(at,bt)+b\frac{d}{dt}f_{y}(at,bt)$$

$$= a\left(af_{xx}(at,bt)+bf_{xy}(at,bt)\right)+ b\left(af_{yx}(at,bt)+bf_{yy}(at,bt)\right)$$

$$= a^2f_{xx}(at,bt)+2abf_{xy}(at,bt)+b^2f_{yy}(at,bt)$$

となる．

例 2.89 (合成関数の微分)   関数 $F(t)=f(at,bt)$ の 3 階導関数は

$$\frac{d^2F}{dt^2} = a^3f_{xxx}(at,bt)+3a^2bf_{xxy}(at,bt)+3ab^2f_{xyy}(at,bt) +b^3f_{yyy}(at,bt)$$

となる．

例 2.90 (合成関数の微分)   $z=xg(y)+yf(x)$, $x=t^3$, $y=t^2$ のとき，

$$\frac{dz}{dt}= (xg(y)+yf(x))_{x}\frac{dx}{dt}+ (xg(y)+yf(x))_{y}\frac{dy}{dt}$$

$$= (g(y)+yf'(x))\frac{dx}{dt}+ (xg'(y)+f(x))\frac{dy}{dt} = (g(t^2)+t^2f'(t^3))3t^2+ (t^3g'(t^2)+f(t^3))2t$$

$$= 2tf(t^3)+3t^2g(t^2)+ 3t^4f'(t^3)+2t^4g'(t^2)$$

となる．

平成21年1月14日