2.40 2 変数の陰関数

定義 2.176 (陰関数)   変数 $x$, $y$, $z$ が条件 $F(x,y,z)=0$ をみたすとき， $z$ は $x$, $y$ の関数 $z=f(x,y)$ であるとみなせる． すなわち，

$$F(x,y,f(x,y))=0$$

により定義される関数 $f(x,y)$ を， $F(x,y,z)=0$ で定義される陰関数（implicit function）という．

例 2.177 (陰関数)   条件

$$F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$$

により定まる陰関数 $z=f(x,y)$ の偏導関数を求める． $z=f(x,y)$ を代入すると

$$x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15=0$$

となる．両辺を $x$ で偏微分すると

$$(x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15)_x =0,$$

$$(x^2)_x+(3xy)_x-(2yf(x,y))_x+(xf(x,y))_x+(f(x,y)^2)_x-(15)_x =0,$$

$$(x^2)_x+3y(x)_x-2y(f(x,y))_x+(xf(x,y))_x+(f(x,y)^2)_x-15(1)_x =0,$$

$$2x+3y-2yf_x(x,y)+f(x,y)+xf_x(x,y)+2f(x,y)f_x(x,y) =0,$$

$$(-2y+x+2f(x,y))f_x(x,y)+(2x+3y+f(x,y)) =0,$$

$$(-2y+x+2z)f_x(x,y)+(2x+3y+z) =0$$

となので，

$$f_x(x,y)=z_x=\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{2x+3y+z}{-2y+x+2z}$$

を得る．同様にして $y$ で偏微分すると

$$(x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15)_y =0,$$

$$(x^2)_y+(3xy)_y-(2yf(x,y))_y+(xf(x,y))_y+(f(x,y)^2)_y-(15)_y =0,$$

$$x^2(1)_y+3x(y)_y-2(yf(x,y))_y+x(f(x,y))_y+(f(x,y)^2)_y-15(1)_y =0,$$

$$3x-2f(x,y)-2yf_y(x,y)+xf_y(x,y)+2f(x,y)f_y(x,y) =0,$$

$$(-2y+x+2f(x,y))f_y(x,y)+(3x-2f(x,y)) =0,$$

$$(-2y+x+2z)f_y(x,y)+(3x-2z) =0$$

となるので，

$$f_y(x,y)=z_y=\frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{3x-2z}{-2y+x+2z}$$

を得る．

定理 2.178 (陰関数の微分)   条件 $F(x,y,z)=0$ で定義される陰関数 $z=f(x,y)$ の偏導関数は， $F_z(x,y,z)\neq0$ のとき

$$f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,... ..., \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}$$

で与えられる．

（証明）     条件 $0=F(x,y,z)$ に $z=f(x,y)$ を代入して， 両辺を $x$ で偏微分すると

$$=\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,f(x,y))= \frac{\partial F}{\par... ...ial y}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}$$ 0

$$= \frac{\partial F}{\partial x}\times 1+ \frac{\partial F}{\parti... ...}\times 0+ \frac{\partial F}{\partial z}f_x(x,y)= F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)f_x(x,y)$$

となるので， $f_x=-F_x/F_z$ を得る． 同様にして $y$ で偏微分すると

$$=\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,f(x,y))= \frac{\partial F}{\par... ...ial y}{\partial y}+ \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}$$ 0

$$= \frac{\partial F}{\partial x}\times 0+ \frac{\partial F}{\parti... ...}\times 1+ \frac{\partial F}{\partial z}f_y(x,y)= F_y(x,y,z)+F_z(x,y,z)f_y(x,y)$$

となるので， $f_y=-F_y/F_z$ を得る．

例 2.179 (陰関数)   条件

$$F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$$

により定まる陰関数 $z=f(x,y)$ の偏導関数を求める． まず，

$$F_x=2x+3y+z, \quad F_y=3x-2z, \quad F_z=-2y+x+2z$$

より，偏導関数は

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x+3y+z}{-2y+x+2z}, \qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{3x-2z}{-2y+x+2z}$$

と得られる．

例 2.180 (陰関数)   条件

$$F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$$

により定まる陰関数 $z=f(x,y)$ の 2 階偏導関数 $z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yy}$ を求める． 条件 $F=0$ の両辺を $x$ で偏微分すると

$$( )\qquad (-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z)=0$$

である．さらに $x$ で偏微分すると

$$=((-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z))_x$$ 0

$$= (-2y+x+2z)_xz_x+ (-2y+x+2z)z_{xx}+ (2x+3y+z)_x$$

$$= (1+2z_x)z_x+(-2y+x+2z)z_{xx}+(2+z_x)$$

$$= (2+2z_x+2z_x{}^2)+(-2y+x+2z)z_{xx}$$

となるから，

$$z_{xx}=-\frac{2+2z_x+2z_x{}^2}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(19y^2+9xy-6yz+3x^2+3xz+3z^2)}{(-2y+x+2z)^3}$$

を得る． (☆)の両辺を $y$ で偏微分すると

$$= ((-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z))_y$$ 0

$$= (-2y+x+2z)_yz_x+ (-2y+x+2z)z_{xy}+ (2x+3y+z)_y$$

$$= (-2+2z_y)z_x+ (-2y+x+2z)z_{xy}+ (3+z_y)$$

$$= (3-2z_x+z_y+2z_xz_y)+ (-2y+x+2z)z_{xy}$$

となるから，

$$z_{xy}=-\frac{3-2z_x+z_y+2z_xz_y}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(5xy-16yz+8x^2+8xz+8z^2)}{(-2y+x+2z)^3}$$

を得る． 条件 $F=0$ の両辺を $y$ で偏微分すると

$$(-2y+x+2z)z_y+(3x-2z)=0$$

である．さらに $y$ で偏微分すると

$$= ((-2y+x+2z)z_y+(3x-2z))_y$$ 0

$$= (-2y+x+2z)_yz_y+ (-2y+x+2z)z_{yy}+ (3x-2z)_y$$

$$= (-2+2z_y)z_y+ (-2y+x+2z)z_{yy}-2z_y$$

$$= (-4z_y+2z_y{}^2)+(-2y+x+2z)z_{yy}$$

となるから，

$$z_{yy}=-\frac{-4z_y+2z_y{}^2}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(3x-2z)(5x-4y+2z)}{(-2y+x+2z)^3}$$

を得る．

平成21年1月14日