2.44 1 変数関数の極値

定義 2.200 (極値)   関数 $f(x)$ が， 点 $x=a$ とその任意の近傍の点 $x=a+h$ に対して

$$f(a)>f(a+h)$$

をみたすとき，$f(x)$ は点 $x=a$ で 極大値 $f(a)$ をとるという． また，

$$f(a)<f(a+h)$$

をみたすとき，$f(x)$ は点 $x=a$ で 極小値 $f(a)$ をとるという． 極大値，極小値を総称して極値という．

定理 2.201 (極値の必要条件)   関数 $f(x)$ が点 $x=a$ で極値をとるとき，$f'(a)=0$ が成り立つ． （注意）逆は成り立たない．

（証明）     関数 $f(x)$ を点 $x=a$ のまわりで $x=a+h$ についてテイラー展開すると，

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\frac{1}{2}f''(a)h^2+O(h^3)$$

となる．これより，

$$f(a+h)-f(a)=f'(a)h+\frac{1}{2}f''(a)h^2+O(h^3)$$

が成り立つ． 右辺の第 1 項目は $h>0$ のとき $h<0$ のときで符号が反転し， 右辺全体の符号も反転する． 任意の近傍の点において $f(a+h)-f(a)>0$ または $f(a+h)-f(a)<0$ をみたすときのみ極値をとるので， 第 1 項目が 0 となる必要があり， $f'(a)=0$ が極値をもつ必要条件となる．

定理 2.202 (極大，極小)   関数 $f(x)$ が点 $x=a$ において， $f'(a)=0$, $f''(a)>0$ をみたすとき $f(a)$ は極小値となる． $f'(a)=0$, $f''(a)<0$ をみたすとき $f(a)$ は極大値となる． （注意）$f''(a)=0$ のときは別途調べる．

（証明）     前述の定理より明らか．

例 2.203 (極値)   関数 $${f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x}$$ の極値を考える． $f'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ より $x=1$, $x=2$ が極値をもつ候補の点となる． $x=1$ と $x=2$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(1+h)=f(1)+f'(1)h+\frac{f''(1)}{2}h^2+O(h^3)=f(1)-\frac{1}{2}h^2+O(h^3)$$

$$f(2+h)=f(2)+f'(2)h+\frac{f''(2)}{2}h^2+O(h^3)=f(1)+\frac{1}{2}h^2+O(h^3)$$

となる．これより，それぞれ

$$f(1+h)-f(1)=-\frac{1}{2}h^2+O(h^3)<0 \Rightarrow\qquad f(1+h)<f(1)$$

$$f(2+h)-f(2)=\frac{1}{2}h^2+O(h^3)>0 \Rightarrow\qquad f(2+h)>f(2)$$

を得る． よって，$f(1)=5/6$ は極大値， $f(2)=2/3$ は極小値となる．

例 2.204 (極値)   関数 $f(x)=x^3$ を考える． $f'(x)=3x^2=0$ より，$x=0$ が極値の候補となる． $x=0$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(h)= f(0)+f'(0)h+\frac{f''(0)}{2}h^2+\frac{f'''(0)}{3!}h^3+O(h^4)= f(0)+h^3+O(h^4)$$

となる．これより，

$$f(h)-f(0)=h^3+O(h^4)$$

が成り立つ．$h>0$ のとき右辺は正，$h<0$ のとき右辺は負となるので， $x=0$ は極値とはならない．

例 2.205 (極値)   関数 $f(x)=x^4$ を考える． $f'(x)=4x^3=0$ より，$x=0$ が極値の候補となる． $x=0$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(h)= f(0)+f'(0)h+\frac{f''(0)}{2}h^2+\frac{f'''(0)}{3!}h^3++\frac{f^{(4)}(0)}{4!}h^4+O(h^5)= f(0)+h^4+O(h^5)$$

となる．これより，

$$f(h)-f(0)=h^4+O(h^5)>0 \quad\Rightarrow\quad f(h)>f(0)$$

が成り立つ． よって，$f(0)=0$ は極小値となる．

平成21年1月14日