2.47 陰関数の極値問題

例 2.222 (陰関数の極値)   条件 $F(x,y)=x^2+xy+2y^2-1=0$ で定まる 陰関数 $y=f(x)$ の極値を求める． $y=f(x)$ の導関数は

$$y'=-\frac{F_{x}}{F_{y}}= -\frac{2x+y}{x+2y}$$

である． ただし，導関数が存在するのは $x+2y\neq 0$ のときである． $y'=0$ をみたす $(x,y)$ を求める． $y'=0$ より，$2x+y=0$ である． これを変形して $y=-2x$ を $F=0$ へ代入すると，

$$F(x,-2x)=x^2+x(-2x)+2(-2x)^2-1= 7x^2-1=0$$

である． $x=\pm1/\sqrt{7}$ より， 極値の候補は

$$(x,y)= \left( \frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{-2}{\sqrt{7}} \right), \left( \frac{-1}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$$

である． $y''$ を求める．

$$(x+2y)y'+(2x+y)=0$$

の両辺を微分すると，

$$(1+2y')y'+(x+2y)y''+(2+y')=0$$

より，

$$y''=-\frac{(1+2y')y'+y'+2}{x+2y}$$

となる． $(x,y)=(\pm/\sqrt{7},\mp2/\sqrt{7})$ （復号同順） のときの $y''$ の値を求める．

$$y''=-\frac{0+0+2}{\pm/\sqrt{7}\mp2/\sqrt{7}}= \pm2\sqrt{7}$$

となるので， $f(1/\sqrt{7})=-2/\sqrt{7}$ は極小値， $f(-1/\sqrt{7})=2/\sqrt{7}$ は極大値である．

平成21年1月14日