2.48 条件付き極値問題
例 2.223 (条件付き極値) 条件 のもとでの 関数 の極値を求める. 条件 により定まる 2 つの 陰関数をそれぞれ , とおく. これらの導関数は
ただし のとき ただし のとき
となる. また,合成関数 , の 導関数はそれぞれ
ただし のとき ただし のとき
となる. 極値の候補となる点は , をみたす点である. これらよりそれぞれ , を得る. このとき を代入すると ぞれぞれ,, を得る. よって,極値の候補は
である. これらの点が極値であるか確認する. さらに微分すると
ただし のとき ただし のとき
となる. よって, のとき, となるから を用いて
となるので, は極小値である. また, のとき, となるから を用いて
となるので, は極大値である.
例 2.224 (条件付き極値) 条件 のもとでの 関数 の極値を求める. 条件 により定まる陰関数を とおく. この導関数は
ただし のとき
となる. また,合成関数 の導関数は のとき
となる. 極値の候補は となる点である. これより,
を得る. これを へ代入すると,
となる. とおけば
となるので, を得る. よって,極値の候補となる点は
である. これらの点が極値であるか確認する. をさらに微分すると
となる. よって, のとき,
となるので, は極小値であり, のとき,
となるので, は極大値である.
例 2.225 (条件付き極値) 条件 () のもとでの 関数 の極値を求める. 条件 により定まる陰関数を とおく. この導関数は
ただし のとき
となる. また,合成関数 の導関数は のとき
となる. をみたす点が極値の候補である. これより を得る. を へ代入すると, となり, であるから, 極値の候補となる点は
である. これらの点が極値であるか確認する. をさらに微分すると
となる. よって, のとき,
となるので, は極大値である. のとき,
となるので, は極小値である.
平成21年1月14日