3.11 3 次元極座標への置換積分

例 3.54 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$$

を求める． 積分変数を

$$x=r\sin\theta\cos\varphi, \quad y=r\sin\theta\sin\varphi, \quad z=r\cos\theta$$

とおく． このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \det \begin{b... ...\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =r^2\sin\theta$$

であるから，体積素は

$$dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$$

と表される． 領域 $D$ を $(r,\theta,\varphi)$ で表すと，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\,0\leq\theta\leq\pi\,\,,0\leq\varphi\leq2\pi}\,\right\}$$

となる． これらより，

$$\iiint_D(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \iiint_E((r\sin\theta\cos\varphi)^2+ (r\sin\theta\sin\varphi)^2+ (r\cos\theta)^2)r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$$

$$= \iiint_Er^4\sin\theta\,drd\theta d\varphi= \int_{0}^{2\pi}d\var... ...\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{a}r^4\,dr\right)$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\varphi}\,\right... ...1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{4\pi a^5}{5}$$

を得る．

問 3.55 (多重積分の変数変換)   $I$ を次の累次積分を計算して求めよ．

$$I= \iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \int_{-a}^{a}dx \int_{-\sqrt{... ...t{a^2-x^2}}dy \int_{-\sqrt{a^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dz\,(x^2+y^2+z^2)$$

(a) 領域 $D$	(b) 極座標	(c) 領域 $E$

例 3.56 (多重積分の変数変換)   3 重積分

$$I=\iiint_Dx\,dxdydz, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{ x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\, x\geq0,\,\, y\geq0,\,\, z\geq0}\,\right\}$$

を求める． 3 次元の極座標に置き換えると 領域 $D$ は

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)\vrule height1em width0em dep... ...\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,\,, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$$

となる． 積分は

$$I =\iiint_E(r\sin\theta\cos\varphi)r^2\sin\theta\, drd\theta d\varp... ...\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,... ...dth0em depth0.1em\,{\sin\varphi}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{16}a^4$$

と求まる．

例 3.57 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}x\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

を計算する． ここで， 2 次元の極座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を用いると， 領域 $D$ は $(r,\theta)$ 座標では領域

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}... ...frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},\,\, 0\leq r\leq a\cos\theta}\,\right\}$$

となる． 多重積分を置換積分し， $\theta$ に関して単純な領域であることに注意して計算すると，

$$I = \iiint_{E}r\cos\theta\,\, r\,drd\theta= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\c... ...height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^3}{3}}\,\right]_{r=0}^{r=a\cos\theta}$$

$$= \frac{a^3}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$$

となる． ここで，

$$\cos^4\theta= \cos^2\theta(1-\sin^2\theta)= \cos^2\theta-(\sin\theta\cos\theta)^2= \cos^2\theta-\frac{1}{4}\sin^22\theta$$

$$= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\theta- \frac{1}{4}\left( \frac{1}{... ...\cos4\theta \right)= \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+ \frac{1}{8}\cos4\theta$$

を用いると，

$$I = \frac{a^3}{3} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\f... ...in2\theta+ \frac{1}{32}\sin4\theta}\,\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}= \frac{\pi}{8}a^3$$

と求まる．

例 3.58 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}x\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

を計算する． 領域 $D$ は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{\left(x-a/2\right)^2+y^2\leq\left(a/2\right)^2}\,\right\}$$

と書けるので， 中心 $(0,a/2)$ で半径 $a/2$ の円の内部の領域である． ここで， 座標変換 $x=a/2+r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を考える． このとき，領域 $D$ は $(r,\theta)$ 座標で，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{ 0\le\theta\le2\pi,\, 0\le r\le a/2}\,\right\}$$

となる．ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \det \begin{bmatrix}x_r... ...{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r$$

となる． 多重積分を置換積分すると，

$$I = \iiint_{E}\left(\frac{a}{2}+r\cos\theta\right) r\,drd\theta= \f... ...\int_{0}^{2\pi}d\theta+ \int_{0}^{a/2}r^2\,dr\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta$$

$$= \frac{a}{2} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fra... ....1em\,{\sin\theta}\,\right]_{0}^{2\pi} = \frac{\pi a^3}{8}+0 = \frac{\pi}{8}a^3$$

平成21年1月14日