2.5 $\mathbb{R}^2$ における直線の方程式

例 2.9 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2)$, $B(3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． まず

$$\vec{x}_0=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix... ...rix}- \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}$$ (23)

とおく．$\vec{p}$ は方向ベクトルである． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{x}_0+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \en... ...begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2t+1 \\ -4t+2 \end{bmatrix}$$ (24)

である． $\vec{x}=\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$ とおき $t$ を消去すると， 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-4}$$ (25)

であり，変形して

$$2x+y-4=0$$ (26)

である． 法線ベクトルは $\vec{n}=\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}$ である． さらに変形して

$$y=-2x+4$$ (27)

となる．傾きは $-2$ であり， $y$ 切片は $4$ である． さらに変形して

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$$ (28)

となる． $x$切片は $2$ であり，$y$ 切片は $4$ である．

例 2.10 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2)$, $B(3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線の方程式を

$$ax+by=1$$ (29)

と仮定する． 点 $A$, $B$ は直線上にあるので

$$a+2b=1,\qquad 3a-2b=1$$ (30)

が成り立つ． この連立方程式を解くと

$$a=\frac{1}{2},\qquad b=\frac{1}{4}$$ (31)

となる．直線の方程式を

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$$ (32)

と得る．

平成20年4月22日