2.22 平面と直線の交点

例 2.52 (平面と直線の交点の具体例) 平面

$\displaystyle x-y+3z+1=0$

(89)

と直線

$\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{4}$

(90)

との交点を考える．直線の方程式のパラメータ表示は

$\displaystyle x=3t+2\,,\quad y=-2t-1\,,\quad z=4t+3$

(91)

である．これを平面の方程式に代入すると

$\displaystyle (3t+2)-(-2t-1)+3(4t+3)+1=0$

(92)

より

$\displaystyle t=-\frac{13}{17}$

(93)

を得る．直線の方程式のパラメータ表示に代入すると

$\displaystyle x=-\frac{5}{17}\,,\quad y=\frac{9}{17}\,,\quad z=-\frac{13}{17}\,$

(94)

となり，交点は

である．