2.24 点と平面との距離

定義 2.55 (点と平面との距離)   点 $A$ と平面上のある点 $B$ との距離が最小となるとき， その距離を点と平面との距離という．

定理 2.56 (点と平面との距離)   点 $A$ と平面上の点 $B$ との距離が最小となるのは 直線 $AB$ と平面が直交するときである．

例 2.57 (点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への 正射影は $B(2,-1/2,7/2)$ である． 直線 $AB$ は平面に直交する． 距離 $\overline{AB}$ が点と平面との距離である． よって距離は

$$\sqrt{ \left(2-1\right)^2+ \left(-\frac{1}{2}+2\right)^2+ \left(\frac{7}{2}-4\right)^2}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (99)

である．

定理 2.58 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{3}$ 空間内の点 $A(x_{0},y_{0},z_{0})$ と 平面 $ax+by+cz+d=0$ を考える． 点 $A$ と平面との距離は

$$\frac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ (100)

である．

問 2.59 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   これを示せ．

例 2.60 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ との距離は

$$\frac{\vert 2\cdot1+3\cdot(-2)-4+1\vert}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}= \frac{\vert-7\vert}{\sqrt{14}}= \frac{7}{\sqrt{14}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (101)

である．

平成20年4月22日