1.8 絶対値

定義 1.18 (絶対値)   実数 $a$ の絶対値（absolute value）を

$$\vert a\vert = \left\{ \begin{array}{cc} a & (a>0)\\ [1em] 0 & (a=0)\\ [1em] -a & (a<0) \end{array} \right.$$

と定義する．

問 1.19 (絶対値の別の定義)   関数 $\max(x,y)$ を

$$\max(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} x & (x>y) \\ [1em] x & (x=y) \\ [1em] y & (x<y) \end{array} \right.$$

と定義するとき， $\vert a\vert=\max(a,-a)$ が成立することを示せ．

定理 1.20 (絶対値の性質)   絶対値に関して次の性質が成り立つ：

(1)

$\vert-a\vert=\vert a\vert$.

(2)

$\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert$.

(3)

$\vert a+b\vert\le \vert a\vert + \vert b\vert$.

(4)

$\vert a-b\vert\ge \vert a\vert - \vert b\vert$.

問 1.21 (絶対値の性質)   性質(1)-(4)を示せ．

（証明）$a$ と $b$ とをそれぞれ正，負，零の場合に分け， 全ての組合わせにおいて議論を行なう．

平成22年6月17日