6.14 2 次式の根号を含む関数の積分～その２

定理 6.72 (根号を含む場合の計算) 関数に $\sqrt{-a(x-\alpha)(x-\beta)}$ を含む場合を考える．このときまず

$\displaystyle \sqrt{-a(x-\alpha)(x-\beta)}= (x-\alpha)\sqrt{\frac{a(\beta-x)}{x-\alpha}}$

と変形し，

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{a(\beta-x)}{x-\alpha}}$

とおく．このとき，

$\displaystyle x$

$\displaystyle = \alpha-\frac{a(\alpha-\beta)}{t^2+a}, \qquad \frac{dx}{dt}= \frac{2a(\alpha-\beta)t}{(t^2+a)^2}$

となる．このとき不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int f\left(\alpha-\frac{a(\alpha-\beta)}{t^2+a}\right) \frac{2a(\alpha-\beta)t}{(t^2+a)^2}\,dt$

により求まる．

例 6.73 (根号を含む場合の計算例) 不定積分

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int\frac{x}{\sqrt{2-x-x^2}}dx= \int\frac{x}{\sqrt{-(x+2)(x-1)}}dx= \int\frac{x}{(x+2)\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}}dx$

を求める．変数変換

$\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{x+2}}=t$

とおく．このとき

$\displaystyle x=\frac{1-2t^2}{1+t^2}=-2+\frac{3}{1+t^2}\,,\quad \frac{dx}{dt}=-\frac{6t}{(1+t^2)^2}$

である．よって

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int\frac{1-2t^2}{1+t^2} \frac{1}{\left(2-2+\frac{3}{1+t^2}\rig... ...rac{1}{t} \left(-\frac{6t}{(1+t^2)^2}\right)dt= 2\int\frac{2t^2-1}{(1+t^2)^2}dt$
	$\displaystyle = 4\int\frac{dt}{1+t^2}- 6\int\frac{dt}{(1+t^2)^2}= 4\mathrm{Tan}^{-1}t-6 \int\frac{(1+t^2)-t^2}{(1+t^2)^2}dt$
	$\displaystyle = 4\mathrm{Tan}^{-1}t-6 \int\frac{dt}{1+t^2}+6 \int\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt= -2\mathrm{Tan}^{-1}t-3 \int t\left(\frac{1}{1+t^2}\right)'dt$
	$\displaystyle = -2\mathrm{Tan}^{-1}t- \frac{3t}{1+t^2}+3 \int\frac{dt}{1+t^2}= \mathrm{Tan}^{-1}t- \frac{3t}{1+t^2}+C$
	$\displaystyle = \mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}- \frac{3\sqrt{\frac{1-x... ...1+\frac{1-x}{x+2}}+C= \mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}- \sqrt{2-x-x^2}+C$

を得る．

6.14 2 次式の根号を含む関数の積分 ～ その２