6.15 三角関数の有理式の積分

三角関数の有理式 $f(\sin x,\cos x,\tan x)$ の不定積分を考える． まず変数変換として

$$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$$

とおく． このとき

$$\tan x = \tan\left( 2\times\frac{x}{2} \right)= \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= \frac{2t}{1-t^2}$$

となる． 同様にして

$$\sin x = \sin\left(2\times\frac{x}{2}\right)= 2\sin\left(\frac{x}{2}\rig... ...\frac{x}{2}\right)= 2\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$$

$$= 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) \frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= \frac{2t}{1+t^2}\,,$$

$$\cos x = \cos\left(2\times\frac{x}{2}\right)= \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)= 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$$

$$= 2\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}-1= \frac{2}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}$$

となる．次に $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ を $x$ で微分すると

$$\frac{dt}{dx} = \left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)'= \frac{1}{2}\frac{1}... ...= \frac{1}{2}\left( 1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)= \frac{1}{2}(1+t^2)$$

となるので

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\frac{dt}{dx}}= \frac{2}{1+t^2}$$

を得る． よって不定積分は

$$I = \int f(\sin x,\cos x,\tan x)\,dx= \int f\left( \frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1-t^2} \right) \frac{2}{1+t^2}\,dt$$

により求められる．

例 6.74 (三角関数を含む場合の積分の計算例)  

$$I = \int\frac{dx}{\sin x}= \int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1... ... \log\vert t\vert+C= \log\left\vert\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right\vert+C\,.$$

例 6.75 (三角関数を含む場合の積分の計算例)  

$$I = \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}= \int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} \frac{2}{1+t^2}dt= \int\frac{2}{2t+2(1-t^2)+3(1+t^2)}dt$$

$$= \int\frac{2}{t^2+2t+5}dt= \int\frac{2}{(t+1)^2+4}dt= \int\frac{... ...2}\right)'}{1+\left(\frac{t+1}{2}\right)^2}dt= \mathrm{Tan}^{-1}\frac{t+1}{2}+C$$

$$= \mathrm{Tan}^{-1}\frac{1}{2}\left( 1+\tan\frac{x}{2}\right)+C\,.$$

平成22年6月17日