2.26 関数の極限の性質

定理 2.96 (関数の極限に関する性質)   関数 $f(x)$, $g(x)$ に関して極限

$$\lim_{x\to a}f(x)=A\,, \qquad \lim_{x\to a}g(x)=B$$

が存在するならば，

$$\lim_{x\to a}\alpha f(x)=\alpha\lim_{x\to a}f(x)=\alpha A\,,$$

$$\lim_{x\to a}\left(f(x)+g(x)\right)= \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=A+B\,,$$

$$\lim_{x\to a}\left(\alpha f(x)+\beta g(x) \right)= \alpha \lim_{x\to a}f(x)+\beta \lim_{x\to a}g(x)= \alpha A+\beta B\,,$$

$$\lim_{x\to a}\left( f(x)g(x)\right)= \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)=AB\,,$$

$$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}} {\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)}}=\frac{A}{B}$$

が成り立つ． ただし，$\alpha$, $\beta$ は定数である．

定理 2.97 (はさみうちの定理)   関数 $h(x)$, $f(x)$, $g(x)$ が

$$h(x)\leq f(x)\leq g(x)$$

をみたし，極限

$$\lim_{x\to a} h(x)= \lim_{x\to a} g(x)=\alpha$$

が存在するとき，

$$\lim_{x\to a} f(x)=\alpha$$

が成立する．

例 2.98 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to2}\left(3x+5\right)= 3\lim_{x\to2}x+5=11\,.$$

$$\lim_{x\to2}(x+7)(x-3)= \lim_{x\to2}(x+7)\times\lim_{x\to2}(x-3)=9\times(-1)=-9 \,.$$

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-1}{x^2+2}= \frac{\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2-1)}} {\displaystyle{\lim_{x\to2}(x^2+2)}}= \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\,.$$

平成22年6月17日