2.37 連続と不連続

定義 2.142 (関数の連続性)   次の条件をみたすとき，関数 $f(x)$ は点 $x=a$ において 連続（continuous）であるという．

(i)

$f(a)$ が定義されている．

(ii)

$${\lim_{x\to a}f(x)}$$ が存在する．
すなわち $${\lim_{x\to a+0}f(x)}$$ と $${\lim_{x\to a-0}f(x)}$$ が存在し，それらの値が等しい．

(iii)

$${\lim_{x\to a}f(x)}=f(a)$$ が成立する．
すなわち $f(a)=\displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)}$ が 成立する．

連続ではない場合は不連続（discontinuous）であるいう．

例 2.143 (連続な点の具体例)   $f(x)=x^2$ は $x=2$ において連続である． なぜなら

$$f(2)=\displaystyle{\lim_{x\to2+0}f(x)=\lim_{x\to2-0}f(x)}=4$$

が成り立つからである．

例 2.144 (不連続な点の具体例)   $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x-2}}\ (x\neq 2)$ は $x=2$ において不連続である． なぜなら $f(2)$ は定義されていない． さらには $${\lim_{x\to2+0}f(x)\neq \lim_{x\to2-0}f(x)}$$ となるからである．

平成22年6月17日