3.11 三角関数の微分

問 3.25 これを示せ．

（証明） $y=f(x)=\sin x$ とおく．定義に従い計算すると，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$

を得る．ここで

$\displaystyle \sin(x+h)-\sin(x)$	$\displaystyle = \sin\left(x+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle = \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)+ \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle \quad- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)+ \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle = 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$

であることを用いると

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle = \lim_{h\to0} \frac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\fr... ..._{h\to0} \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h/2}$
	$\displaystyle = \lim_{h\to0} \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \times \lim_{\frac{... ...to0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \cos(x)\times 1=\cos(x)$

を得る．

次に $y=f(x)=\cos x$ とおく．定義に従い計算すると，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$

を得る．ここで

$\displaystyle \cos(x+h)-\cos(x)$	$\displaystyle = \cos\left(x+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}\right)- \cos\left(x+\frac{h}{2}-\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle = \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle \quad- \cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cos\left(\frac{h}{2}\right)- \sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$
	$\displaystyle =-2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\frac{h}{2}\right)$

であることを用いると

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle = \lim_{h\to0} \frac{-2\sin\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\left(\f... ...{h\to0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h/2}$
	$\displaystyle =-\lim_{h\to0} \sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \times \lim_{\frac{... ...o0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} =-\sin(x)\times 1=-\sin(x)$

を得る．

最後に $y=f(x)=\tan(x)$ を考える．このとき

$\displaystyle y=f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

であるから商の微分公式より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle = \frac{ \left(\sin(x)\right)'\cos(x)- \sin(x)\left(\cos(x)\right)'}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
	$\displaystyle =\frac{1}{\cos^2(x)}$

を得る．