3.12 逆三角関数の微分
定理 3.26 (逆三角関数の微分)
問 3.27 これを示せ.
(証明)
とおく. 主値を考えているので値域は
である. このときの逆関数とその微分は
である.ここでを
の関数で表すことを考える.
と
より
となる. 符号を片方のみ採用する.より
となるので, 上式の右辺も 0 以上でなければならない. よって
である.以上より
を得る.次に
![]()
とおく. この逆関数とその微分は
である. 主値に注意して
を
の関数で表わすと
である.ここでを用いた. 以上より
を得る.最後に
を考える. この逆関数とその微分は
となる.これより
を得る.
平成22年6月17日