4.15 収束するときにかぎり極限と四則演算は可換

定理 4.46 (級数の収束)   $\sum a_{n}$, $\sum b_{n}$ が収束するとき， $\sum (\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})$ もまた収束する． ただし $\alpha$, $\beta$ は定数とする． このとき

$$\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha\,a_{n}+\beta\,b_{n})= \alpha \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ \beta \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$$

が成り立つ．

注意 4.47 (順番の入れ替え)   定理 は級数が収束するときに限り， 各項を足し合わせる順番を入れ替えてもよいことを意味する． 発散する場合は足し算の順番を入れ替えることはできない．

例 4.48 (無限級数の結合則)   数列 $a_{n}=(-1)^{n-1}$ の 級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}}$$ を考える． すなわち

$$S =1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$$

である． 足し算の順を入れ替えると

$$S =(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$$

$$=0+0+0+0+\cdots=0$$

となる．また別の順で足し合わせると

$$S =1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$$

$$=1+0+0+0+\cdots=1$$

となる． また，

$$S =+1-1+1-1+1-1+1+\cdots$$

$$S-1 =-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$$

の 2 式を足し合わせると $2S-1=0$ となり， $S=1/2$ となる． これらは矛盾する． どこが誤りであろうか？ 有限の項の和の常識は無限の項の和には通用しない． この場合の間違いは足し算の順を変えたことである． この例では結合則が成り立たない． 定義 に従えば級数 $S$ は発散である．

問 4.49 (順番の入れ換え)   次の計算は誤りである．どこが間違っているか考えよ．

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ (-1)^n+ \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \right\} n=2k n=2k+1$$

$$= \sum_{k=1}^{\infty} \left\{ (-1)^{2k-1}+ (-1)^{2k}+ \left(\frac... ...\frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^{k}+ \left(\frac{1}{4}\right)^{k} \right\}$$

$$= \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^{k} = \frac{3}{2} \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}= \frac{1}{2}.$$

平成22年6月17日