4.14 級数

級数（series）とは数列 $\{a_{n}\}$ の和である． 式では

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots$$ (10)

$$=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum a_{n}$$ (11)

と書き表す． 加法（足し算）は有限回の演算においてのみ定義されているので， 式（）は形式的な和である． 厳密に級数を定義するには次のように考える． まず第 $n$ 項までの有限和

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$

を考える． これを第 $n$ 部分和（the $n$-th partial sum）と呼ぶ． $S_{n}$ に関する数列

$$\{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$$

を考える． 数列 $\{S_{n}\}$ の極限

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$$

が存在したとする． このとき級数 $\sum a_{n}$ は存在し， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$$

で与えられると定義する． 極限 $S$ が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束すると呼ぶ． 極限 $S$ が存在しない場合は級数 $\sum a_{n}$ は発散すると呼ぶ．

定義 4.41 (級数)   数列 $\{a_{n}\}$ の和 $\sum a_{n}$ を級数（series）と呼び， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$$

で定義する． この極限が存在するとき 級数 $\sum a_{n}$ は収束する（convergent）といい， 収束しない場合を 級数 $\sum a_{n}$ は発散する（divergent）という．

例 4.42 (調和級数)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を考える． 部分和 $${S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}$$ は

$$S_1=1,\quad S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\quad S_3=1+\frac{1}{2}... ...{3}=\frac{11}{6},\quad S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{50}{24},$$

$$S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{255}{120},\quad \cdots$$

となる． 数列 $\{S_n\}$ は発散する．

例 4.43 (級数の計算)   級数

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}$$

を考える．この部分和は

$$S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+k}= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-... ...(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+ \cdots+ \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

$$= 1-\frac{1}{n+1}$$

である． よって，級数は

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

と求まる．

例 4.44 (級数の計算)   級数

$$S=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-n}$$

を考える．この部分和は

$$S_n = \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2-k}= \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1... ...(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+ \cdots+ \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$$

$$= 1-\frac{1}{n}$$

である． よって，級数は

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1$$

と求まる．

例 4.45 (級数の計算)   級数

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n+2}$$

を考える．この部分和は

$$S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+3k+2}= -\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{k+1}-\frac{k+1}{k+2}\right)$$

$$= -\left\{ \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)+ \left(\frac{2}{3... ...left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}\right)\right\}= -\frac{1}{2}+\frac{n+1}{n+2}$$

である． よって，級数は

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2}+\fr... ...fty}\left(\frac{1+1/n}{1+2/n}\right)= -\frac{1}{2}+\frac{1+0}{1+0}= \frac{1}{2}$$

と求まる．

平成22年6月17日