2.4 演習問題 〜 関数,極限,連続

2.20 (2 変数関数)   関数 $ f(x,y)=x^3-2x^2y+3y^2$ に対して次の値を求めよ.
    (1)  $ f(0,1)$     (2)  $ f(1,1)$     (3)  $ f(2,0)$     (4)  $ f(1,-1)$

2.21 (2 変数関数)   次の関数 $ f(x,y)$ のグラフ $ z=f(x,y)$ を描け. (ヒント:平面 $ x=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $ y=0,\pm1,\pm2,\cdots$ による切口の図形を考える.)
    (1)   $ f(x,y)=x^2+y^2$     (2)   $ f(x,y)=x^3+y^2$

2.22 (2 変数関数)   次の関数 $ f(x,y)$ のグラフ $ z=f(x,y)$$ xz$ 平面, $ yz$ 平面による切口の図形を描け.
    (1)   $ \displaystyle{f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$     (2)   $ \displaystyle{f(x,y)=\frac{x+y^3}{x^2+y^2}}$

2.23 (極限)   次の極限を求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}}$     (2)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}}$     (3)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}}$     (4)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$
    (5)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^3-y^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}}$     (6)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}}$     (7)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}$
    (8)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}}$     (9)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}$     (10)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}}$     (11)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+x^2y}{2x^2+y^2}}$
    (12)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}}$     (13)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}$     (14)   $ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\sqrt{\vert y\vert}}{\sqrt{x^2+y^2}}}$

2.24 (連続)   次の関数 $ f(x,y)$ が原点で連続となるか議論せよ. ただし $ f(0,0)$ は適当に定義せよ.
    (1)   $ \displaystyle{\frac{x^2}{x^2+y^2}}$     (2)   $ \displaystyle{\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}}$     (3)   $ \displaystyle{\frac{xy}{x^2+y^2}}$     (4)   $ \displaystyle{\frac{\sin(x+y)}{x+y}}$     (5)   $ \displaystyle{\frac{x^4-3x^2y^2}{2x^2+y^2}}$     (6)  $ x^2+y$
    (7)   $ \displaystyle{\frac{x+y}{x^2+y^2}}$     (8)   $ \displaystyle{\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}}$     (9)   $ \displaystyle{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$     (10)   $ \displaystyle{\frac{x^4+x^2+y^2+y^3}{x^2+y^2}}$     (11)   $ \displaystyle{\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}}$     (12)   $ \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}$
    (13)   $ \displaystyle{(x+y)\cos\frac{y}{x}}$     (14)   $ \displaystyle{\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}}$     (15)   $ \displaystyle{xy\log(x^2+y^2)}$


平成21年12月2日