2.5 多変数関数の微分

1 変数関数 $y=f(x)$ において， $x=a$ から $x=a+\Delta x$ への $y$ の増分は

$$\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$$

である． このとき， $xy$ 平面内の 2 点 $(a,f(a))$, $(a+\Delta x,f(a+\Delta x))$ を 通る直線の傾きは $${\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$ となる． $x=a$ における $y=f(x)$ の微係数は， 2 点を近づけたときの 傾き $${\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$ の極限

$$\frac{df(a)}{dx}= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

である． このとき $\Delta x\to 0$ は， 右から近づける $\Delta x\to+0$ と 左から近づける $\Delta x\to-0$ の両方を 含むことに注意する．

一方，2 変数関数 $z=f(x,y)$ においては， 定義域 $D$ 内の点 $A(a,b)$ から 点 $P(a+\Delta x,b+\Delta y)$ への $z$ の増分

$$\Delta z=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)$$

を考える． このとき $xyz$ 空間内の 2 点 $A'(a,b,c)$, $P'(a+\Delta x,b+\Delta y,z+\Delta z)$ （$c=f(a,b)$ とおく）を通る直線の傾きは

$$\frac{\Delta z}{\rho}= \frac{f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

となる． ただし，$\rho$ は点 $A$, $P$ 間の 距離 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ である． 点 $P$ を点 $A$ に近づけたときの 傾き $${\frac{\Delta z}{\rho}}$$ の極限を考える． 点 $P$ を点 $A$ へ近づけるとき， 近づける方向は $x$ 軸や $y$ 軸に沿った方向だけでなく， 全方向から近づけなければならない．

(i).

全方向 $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ から近づけたとき， 傾き $${\frac{\Delta z}{\rho}}$$ の極限が 存在すれば，$z$ は全微分可能であるという．

(ii).

$x$ 軸に沿って $\Delta y=0$, $\Delta x\to 0$ （ $\rho=\vert\Delta x\vert\to 0$）と近づけたとき， 傾きの極限

$$\lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z}{\rho}= \lim_{\vert\Delta x\vert\t... ...lta x\vert}= \pm \lim_{\Delta x\to\pm0} \frac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}$$

が存在すれば， $z$ は$x$ に関して偏微分可能であるという．

(iii).

$y$ 軸に沿って $\Delta x=0$, $\Delta y\to 0$ （ $\rho=\vert\Delta y\vert\to 0$）と近づけたとき， 傾きの極限

$$\lim_{\rho\to0} \frac{\Delta z}{\rho}= \lim_{\vert\Delta y\vert\t... ...lta y\vert}= \pm \lim_{\Delta y\to\pm0} \frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$$

が存在すれば， $z$ は$y$ に関して偏微分可能であるという．

平成21年12月2日