2.8 高階偏微分

関数 $ z=f(x,y)$ の 1 階偏導関数 $ f_x(x,y)$, $ f_y(x,y)$$ x$, $ y$ に関する 2 変数関数であるから, さらに $ x$ または $ y$ に関して偏微分することができる. このとき

  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=f_x \quad \overset{\frac{\partial}{...
...rac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= (f_x)_x=f_{xx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=f_x \quad \overset{\frac{\partial}{...
...tial f}{\partial x}= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}= (f_x)_y=f_{xy},$    
  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=f_y \quad \overset{\frac{\partial}{...
...tial f}{\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= (f_y)_x=f_{yx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=f_y \quad \overset{\frac{\partial}{...
...frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= (f_y)_y=f_{yy}$    

と表記する. これを2 階偏導関数という. さらに偏微分すると

  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx} \quad \overset{\frac{\pa...
...tial^2 f}{\partial x^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}= (f_{xx})_x=f_{xxx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx} \quad \overset{\frac{\pa...
...\partial x^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x^2}= (f_{xx})_y=f_{xxy},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{xy} \quad \overset{\...
...ial x}= \frac{\partial^3f}{\partial x\partial y\partial x}= (f_{xy})_x=f_{xyx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=f_{xy} \quad \overset{\...
...l y\partial x}= \frac{\partial^3f}{\partial y^2\partial x}= (f_{xy})_y=f_{xyy},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{yx} \quad \overset{\...
...l x\partial y}= \frac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}= (f_{yx})_x=f_{yxx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=f_{yx} \quad \overset{\...
...ial y}= \frac{\partial^3f}{\partial y\partial x\partial y}= (f_{yx})_y=f_{yxy},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy} \quad \overset{\frac{\pa...
...\partial y^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}= (f_{yy})_x=f_{yyx},$    
  $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f_{yy} \quad \overset{\frac{\pa...
...rtial^2 f}{\partial y^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}= (f_{yy})_y=f_{yyy}$    

と表記し3 階偏導関数という. さらに偏微分を繰り返して $ x$, $ y$ についてあわせて $ n$ 回偏微分して できた導関数を

$\displaystyle \frac{\partial^n f}{\partial x^k\cdots\partial y^j\partial x^i} =...
... \text{{\scriptsize$\underbrace{x\!\cdots\!x}_{k}$}}} \,, \qquad i+j+\cdots+k=n$    

と表記し,$ n$ 階偏導関数という.

2.36 (高階導関数)   関数 $ f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$ の高階偏導関数は,

  $\displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2+5y,$   $\displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=5x+4y,$    
  $\displaystyle f_{xx}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}(6x^2+5y)=(6x^2+5y)_{x}=12x,$   $\displaystyle f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial y}(6x^2+5y)=(6x^2+5y)_{y}=5,$    
  $\displaystyle f_{yx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial x}(5x+4y)=(5x+4y)_{x}=5,$   $\displaystyle f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=(5x+4y)_{y}=4,$    
  $\displaystyle f_{xxx}=\frac{\partial^3f}{\partial x^3}= \frac{\partial}{\partial x}(12x)=(12x)_{x}=12,$   $\displaystyle f_{xxy}=\frac{\partial^3f}{\partial y\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial y}(12x)=(12x)_{y}=0,$    
  $\displaystyle f_{xyx}=\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(5)=(5)_{x}=0,$   $\displaystyle f_{xyy}=\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x}= \frac{\partial}{\partial y}(5)=(5)_{x}=0,$    
  $\displaystyle f_{yxx}=\frac{\partial^3 3}{\partial x^2\partial y}= \frac{\partial}{\partial x}(5)=(5)_{x}=0,$   $\displaystyle f_{yxy}=\frac{\partial^3 3}{\partial y\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(5)=(5)_{y}=0,$    
  $\displaystyle f_{yyx}=\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial x}(4)=(4)_{x}=0,$   $\displaystyle f_{yyy}=\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}= \frac{\partial}{\partial y}(4)=(4)_{y}=0$    

となり,さらに $ 4$ 階以上の偏導関数はすべて 0 となる. ここで,この関数の場合は

  $\displaystyle f_{xy}=f_{yx}, \qquad f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}, \qquad f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy}$    

となることに注意する.

注意 2.37 (偏微分の可換性)   一般には偏微分は交換可能ではない:

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\neq \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}, \qquad f_{xy}\neq f_{yx}$    

定理 2.38 (偏微分の可換性)   関数 $ f(x,y)$ において,$ f_{xy}$, $ f_{yx}$ が存在し, かつこれらが連続関数であるとき, $ f_{xy}=f_{yx}$ が成り立つ.

注意 2.39 (偏微分の可換性)   逆は成り立たない.

注意 2.40 (偏微分の可換性)   偏微分が可換となる十分条件は他にも色々あるが, 実用上は上の定理が一番有用である. ほとんどの普通の関数はこの定理の十分条件をみたし, 偏微分が $ x$, $ y$ について可換となる.


平成21年12月2日