2.10 ランダウの記号
定義 2.49 (ランダウの記号) 関数,
に対して
が成り立つとき,
と表記する.はランダウ(Landau)の記号である. またこのとき,
は
に比べ無視できるという.
定義 2.50 (ランダウの記号) 関数,
に対して
が成り立つとき,
と表記する.はランダウ(Landau)の記号である. またこのとき
は
で押さえられるという.
注意 2.51 (二つのランダウの記号の関係) 関数,
に対して
が成り立つとき,であれば
となるので
が成り立つ.
定義 2.52 (無限大,無限小) 関数,
が
において無限小または 無限大となるとき,次の呼び方を定義する.
,
,
![]()
のとき,
は
より高次の無限小と呼ぶ. または
は
より低次の無限小と呼ぶ.
,
,
![]()
のとき,
は
より低次の無限大と呼ぶ. または
は
より高次の無限大と呼ぶ.
,
,
![]()
のとき,
と
とは同次の無限小と呼ぶ.
,
,
![]()
のとき,
と
とは同次の無限大と呼ぶ.
例 2.53 (ランダウの記号の使用例)の極限
において,
より
が成り立つ. よって,において
と
とは同次の無限小である. また,
より,
が成り立つ. よって,において
と
とは同次の無限小であり,
は
および
より高次の無限小である.
例 2.54 (ランダウの記号の使用例)の極限
において,
より
が成り立つ. よって,において
と
とは 同次の無限大である. また,
より
が成り立つ. よって,において
は
より 低次の無限大である.
注意 2.55 (テイラー展開とランダウの記号) テイラー展開により
が成り立つ.なぜなら
となるからである.同様に
となることより得られる.
例 2.56 (ランダウの記号の使用例)
例 2.57 (ランダウの記号の使用例)
平成21年12月2日