2.11 1 変数関数の微分可能性

定義 2.58 (微分可能)   関数 $y=f(x)$ において， 点 $x$ から 点 $x+\Delta x$ への増分

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$

に対して

$$\Delta y=\alpha\,\Delta x+o(\rho), \quad \rho=\vert\Delta x\vert, \quad(\rho\to0)$$

をみたす $\alpha$ が存在するとき， $関数 y=f(x)$ は微分可能であるという． このとき

$$dy=\alpha\,dx$$

と表記し，$dy$ を $y=f(x)$ の微分という．

定理 2.59 (微分)   関数 $y=f(x)$ が微分可能であることの必用十分条件は， 極限

$$f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

が存在することである． このとき

$$dy=f'(x)dx$$

が成り立つ．

（証明）     $\Delta y=\alpha\Delta x+\varepsilon(\rho)$ とおく． ただし， $\rho=\vert\Delta x\vert$ であり， $\varepsilon(\rho)$ は $\rho$ についてのある関数とする． $\varepsilon(\rho)$ について式変形すると

$$\frac{\varepsilon(\rho)}{\Delta x}= \frac{\Delta y-\alpha \Delta ... ...}= \frac{\Delta y}{\Delta x}-\alpha= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\alpha$$

となる．このとき，

$$\varepsilon(\rho)=o(\rho)\quad(\rho\to0)$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad 0=\lim_{\rho\to0}\frac{\varepsilon(\rho... ...\pm \lim_{\Delta x\to0}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\alpha\right)$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \alpha= \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$$

が成り立つ． よって $f$ が微分可能であることと極限 $f'(x)$ が存在することとは 必要十分条件であり， $\alpha=f'(x)$ となる．

例 2.60 (微分可能)   関数 $y=f(x)=x^2$ に関して

$$\Delta y=\alpha\,\Delta x+\epsilon(\rho)$$

とおく． このとき

$$\lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho} = \lim_{\rho\to 0} \frac{(2x-\alpha)\Delta x+\Delta x^2}{\rho}= \... ...\Delta x^2}{\Delta x}= \pm \lim_{\rho\to 0} \left( (2x-\alpha)+\Delta x \right)$$

$$= \pm(2x-\alpha)$$

が成り立つ． $\alpha=2x$ のとき 0 となるから，

$$\Delta y=2x\,\Delta x+o(\rho) \quad (\rho\to 0)$$

が成り立つ． $y=x^2$ は微分可能であり， $y$ の微分は

$$dy=2x\,dx$$

である．

平成21年12月2日