2.11 1 変数関数の微分可能性

定義 2.58 (微分可能)   関数 $ y=f(x)$ において, 点 $ x$ から 点 $ x+\Delta x$ への増分

$\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$    

に対して

$\displaystyle \Delta y=\alpha\,\Delta x+o(\rho), \quad \rho=\vert\Delta x\vert, \quad(\rho\to0)$    

をみたす $ \alpha$ が存在するとき, $ 関数 y=f(x)$微分可能であるという. このとき

$\displaystyle dy=\alpha\,dx$    

と表記し,$ dy$$ y=f(x)$微分という.

定理 2.59 (微分)   関数 $ y=f(x)$ が微分可能であることの必用十分条件は, 極限

$\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$    

が存在することである. このとき

$\displaystyle dy=f'(x)dx$    

が成り立つ.


(証明)     $ \Delta y=\alpha\Delta x+\varepsilon(\rho)$ とおく. ただし, $ \rho=\vert\Delta x\vert$ であり, $ \varepsilon(\rho)$$ \rho$ についてのある関数とする. $ \varepsilon(\rho)$ について式変形すると

$\displaystyle \frac{\varepsilon(\rho)}{\Delta x}= \frac{\Delta y-\alpha \Delta ...
...}= \frac{\Delta y}{\Delta x}-\alpha= \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\alpha$    

となる.このとき,

  $\displaystyle \varepsilon(\rho)=o(\rho)\quad(\rho\to0)$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad 0=\lim_{\rho\to0}\frac{\varepsilon(\rho...
...\pm \lim_{\Delta x\to0}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\alpha\right)$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \alpha= \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$    

が成り立つ. よって $ f$ が微分可能であることと極限 $ f'(x)$ が存在することとは 必要十分条件であり, $ \alpha=f'(x)$ となる.

2.60 (微分可能)   関数 $ y=f(x)=x^2$ に関して

$\displaystyle \Delta y=\alpha\,\Delta x+\epsilon(\rho)$    

とおく. このとき

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \lim_{\rho\to 0} \frac{(2x-\alpha)\Delta x+\Delta x^2}{\rho}= \...
...\Delta x^2}{\Delta x}= \pm \lim_{\rho\to 0} \left( (2x-\alpha)+\Delta x \right)$    
  $\displaystyle = \pm(2x-\alpha)$    

が成り立つ. $ \alpha=2x$ のとき 0 となるから,

$\displaystyle \Delta y=2x\,\Delta x+o(\rho) \quad (\rho\to 0)$    

が成り立つ. $ y=x^2$ は微分可能であり, $ y$ の微分は

$\displaystyle dy=2x\,dx$    

である.


平成21年12月2日