2.12 全微分可能性

定義 2.61 (全微分可能)   関数 $ z=f(x,y)$ において, 点 $ (x,y)$ から点 $ (x+\Delta x,y+\Delta y)$ への 増分

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$    

に対して

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+o(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} \quad (\rho\to 0)$    

をみたす $ \alpha$, $ \beta$ が存在するとき, 関数 $ z=f(x,y)$全微分可能(total differentiable)であるという. このとき,

$\displaystyle dz=\alpha\,dx+\beta\,dy$    

と表記し,$ dz$$ z=f(x,y)$全微分 または単に微分という.

2.62 (微分可能)   関数 $ z=f(x,y)=xy$ は全微分可能であるか考える. まず,増分は

$\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= (x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy= y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$    

である.この増分が

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

の形をみたすと仮定する. このとき式変形すると

$\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{(y-\alpha)\Delta x+(x-\beta)\Delta y+\Delta x\Delta y} {\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$    

となる.ここで $ \Delta x=\rho\cos\theta$, $ \Delta y=\rho\sin\theta$ とおき, $ \rho\to 0$ の極限をとると,

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \lim_{\rho\to0} \frac{(y-\alpha)\rho\cos\theta+ (x-\beta)\rho\sin\theta+\rho^2\sin\theta\cos\theta} {\rho}$    
  $\displaystyle = \lim_{\rho\to0} (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta+\rho\sin\theta\cos\theta$    
  $\displaystyle = (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta$    

を得る. $ \displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$ となるためには

$\displaystyle \alpha=y, \qquad \beta=x$    

とおく. よって,

$\displaystyle \Delta z=y\,\Delta x+x\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$    

が成り立つ. 関数 $ z=xy$ は全微分可能である. また,$ z=xy$ の全微分は

$\displaystyle dz=y\,dx+x\,dy$    

となる.

2.63 (微分可能)   関数 $ \displaystyle{z=f(x,y)=\frac{x^2}{y}}$ は全微分可能であるか考える. まず,増分は

  $\displaystyle \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = \frac{(x+\Delta x)^2}{...
...lta y}-\frac{x^2}{y}= \frac{2xy\Delta x+y\Delta x^2-x^2\Delta y}{y(y+\Delta y)}$    
  $\displaystyle = \frac{2x+\Delta x}{y+\Delta y}\Delta x - \frac{x^2}{y(y+\Delta y)}\Delta y$    

である.この増分が

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

の形をみたすと仮定する. このとき式変形すると

  $\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \left( \frac{2x+\Delta x}{y+\Delta y...
...-x^2}{y(y+\Delta y)}-\beta \right)\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$    

となる.ここで $ \Delta x=\rho\cos\theta$, $ \Delta y=\rho\sin\theta$ とおき, $ \rho\to 0$ の極限をとると,

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \lim_{\rho\to0} \left( \left( \frac{2x+\rho\cos\theta}{y+\rho\s...
...rac{-x^2}{y(y+\rho\sin\theta)}-\beta \right)\frac{\rho\sin\theta}{\rho} \right)$    
  $\displaystyle = \left(\frac{2x}{y}-\alpha\right)\cos\theta+ \left(-\frac{x^2}{y^2}-\beta\right)\sin\theta$    

を得る. $ \displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$ となるためには

$\displaystyle \alpha=\frac{2x}{y}, \qquad \beta=-\frac{x^2}{y^2}$    

とおく. よって,$ y\neq 0$ のとき

$\displaystyle \Delta z=\frac{2x}{y}\,\Delta x-\frac{x^2}{y^2}\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$    

が成り立つ. 関数 $ \displaystyle{z=\frac{x^2}{y}}$$ y\neq 0$ のとき全微分可能である. また, $ \displaystyle{z=\frac{x^2}{y}}$ の全微分は

$\displaystyle dz=\frac{2x}{y}\,dx-\frac{x^2}{y^2}\,dy$    

となる.

2.64 (微分可能)   関数 $ \displaystyle{z=f(x,y)=\vert x+y\vert}$ が原点で全微分可能であるか考える. まず,原点における増分は

  $\displaystyle \Delta z=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0) = \vert+\Delta x+0+\Delta y\vert-\vert+0\vert= \vert\Delta x+\Delta y\vert$    

である.この増分が

$\displaystyle \Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

の形をみたすと仮定する. このとき式変形すると

  $\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{\vert\Delta x+\Delta y\vert-\alpha \Delta x-\beta \Delta y}{\rho}$    

となる.ここで $ \Delta x=\rho\cos\theta$, $ \Delta y=\rho\sin\theta$ とおくと,

$\displaystyle \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \frac{\vert\rho\cos\theta+\rho\sin\theta\vert- \alpha\rho\cos\t...
...heta}{\rho} =\vert\cos\theta+\sin\theta\vert-(\alpha\cos\theta+\beta\sin\theta)$    
  $\displaystyle = \left\vert\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right\v...
...\sin\left(\theta+\phi\right), \qquad \phi=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{\alpha}{\beta}$    

となる. 極限をとると

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho}$ $\displaystyle = \begin{cases}\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)- \sq...
...ght)& \displaystyle{\left(\pi\le\theta+\frac{\pi}{2}\le2\pi\right)} \end{cases}$    

となる. これが 0 となる $ \alpha$, $ \beta$ $ \displaystyle{0\le\theta+\frac{\pi}{2}\le\pi}$ のとき $ \alpha=1$, $ \beta=1$ であり, $ \displaystyle{\pi\le\theta+\frac{\pi}{2}\le2\pi}$ のとき $ \alpha=\pm1$, $ \beta=\mp1$(復号同順)である. よって, 極限の取り方によらず $ \alpha$, $ \beta$ は一意に定まらないので, $ z=f(x,y)$ は原点で全微分不可能である.


平成21年12月2日