2.19 2 変数関数 と 1 変数関数の合成関数の微分

定理 2.82 (合成関数の微分)   全微分可能な 2 変数関数 $ z=f(x,y)$ と 1 変数関数 $ x=\phi(t)$, $ y=\psi(t)$ との 合成関数 $ z=f(\phi(t),\psi(t))$ の導関数は

$\displaystyle \frac{dz}{dt}$ $\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$    

となる.また,代入も含めて正確に書くと

$\displaystyle \frac{d}{dt} f(\phi(t),\psi(t))$ $\displaystyle = f_x(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+ f_y(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)$    

となる.


(証明)     関数 $ z=f(x,y)$ は全微分可能であり, 関数 $ x=\phi(t)$, $ y=\psi(t)$ は微分可能とする. このとき

$\displaystyle dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy, \quad dx=\phi'(t)dt, \quad dy=\psi'(t)dt$    

が成り立つ.または,

$\displaystyle \Delta z$ $\displaystyle =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\varepsilon_1, \quad \varepsilon_1(\rho)=o(\rho)\quad(\rho\to0),$    
$\displaystyle \Delta x$ $\displaystyle =\phi(t+\Delta t)-\phi(t)=\phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2, \quad \varepsilon_2(\Delta t)=o(\Delta t)\quad(\Delta t\to0),$    
$\displaystyle \Delta y$ $\displaystyle =\psi(t+\Delta t)-\psi(t)=\psi'(t)\Delta t+\varepsilon_3, \quad \varepsilon_3(\Delta t)=o(\Delta t)\quad(\Delta t\to0)$    

と表される. ただし, $ \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ とおく. このとき,

$\displaystyle \frac{\Delta z}{\Delta t}$ $\displaystyle = \frac{f(\phi(t+\Delta t),\psi(t+\Delta t))-f(\phi(t),\psi(t))}{\Delta t} = \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta t}$    
  $\displaystyle = \frac{f_x(x,y)\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\varepsilon_1}{\Delta t...
...x}{\Delta t}+ f_y(x,y)\frac{\Delta y}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta t}$    
  $\displaystyle = f_x(x,y)\frac{\phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2}{\Delta t}+ f_y(x,y)\frac{\psi'(t)\Delta t+\varepsilon_3}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta t}$    
  $\displaystyle = f_x(x,y)\phi'(t)+ f_y(x,y)\psi'(t)+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta...
..._x(x,y) \frac{\varepsilon_2}{\Delta t}+ f_y(x,y) \frac{\varepsilon_3}{\Delta t}$    

が成り立つ. $ \Delta t\to 0$ の極限をとると, $ \varepsilon_2(\Delta t)=o(\Delta t)$, $ \varepsilon_3(\Delta t)=o(\Delta t)$, $ \varepsilon_1(\rho)=o(\rho)$ より, $ \displaystyle{\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_2(\Delta t)}{\Delta t}=0}$, $ \displaystyle{\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_3(\Delta t)}{\Delta t}=0}$ であり,

  $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_1}{\Delta t}= \lim_{\Delta t...
...{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+ \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\right)$    
  $\displaystyle = \left(\lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_1}{\rho}\right) \lef...
...varepsilon_3}{\Delta t}\right)^2}\right) =0\times\sqrt{\phi'(t)^2+\psi'(t)^2}=0$    

となるので,

$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0} \frac{\Delta z}{\Delta t}= f_x(x,y)\phi'(t)+ f_y(x,y)\psi'(t) = f_x(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+ f_y(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)$    

を得る.

2.83 (合成関数の微分)   関数 $ z=f(x,y)$, $ x=2t-3$, $ y=-t+1$ の合成関数 $ z=f(2t-3,-t+1)$ の導関数は,

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=2, \qquad \frac{dy}{dt}=-1$    

より

$\displaystyle \frac{dz}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =2f_x(2t-3,-t+1)-f_y(2t-3,-t+1)$    

となる.

2.84 (合成関数の微分)   関数 $ z=xy^2-x^2y$, $ x=t^2$, $ y=e^t$ の 合成関数の導関数は,

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}= y^2-2xy= e^{2t}-2t^2e^{t}, \quad \...
...rtial y}= 2xy-x^2= 2t^2e^t-t^4, \quad \frac{dx}{dt}=2t, \quad \frac{dy}{dt}=e^t$    

より

$\displaystyle \frac{dz}{dt}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{...
...dy}{dt} = (e^{2t}-2t^2e^{t})2t+ (2t^2e^t-t^4)e^t = 2(t^2+t)e^{2t}-(t^4+4t^3)e^t$    

となる.

2.85 (合成関数の微分)   関数 $ z=x^3y^2$, $ x=t^2$, $ y=t^4$ の合成関数の微分は,

$\displaystyle z_x=3x^2y^2=3t^4t^8=3t^{12}, \quad z_y=2x^3y=2t^6t^4=2t^{10}, \quad x'=2t, \quad y'=4t^3$    

より

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=z_xx'+z_yy'= (3t^{12})(2t)+(2t^{10})(4t^3)= 14t^{13}$    

となる.

2.86 (合成関数の微分)   関数 $ z=f(x,y)$ において, 合成関数 $ z=f(g(t),t)$ $ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を求める. $ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=g'(t)}$, $ \displaystyle{\frac{dy}{dt}=1}$ より

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}f(g(t),t)= \frac{\partial f}{\partial x...
...}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =f_{x}(g(t),t)g'(t)+f_{y}(t,g(t))$    

となる. さらにこの式の両辺を $ t$ 微分して $ \displaystyle{\frac{d^{2}z}{dt^{2}}}$ も求める. 上式の結果と第 1 項目の積の微分に注意して計算すると,

  $\displaystyle \frac{d^{2}z}{dt^{2}}= \frac{d}{dt}\left( f_{x}(g(t),t)g'(t)+f_{y...
...es g'(t) + f_{x}(g(t),t) \times \frac{d}{dt} g'(t) + \frac{d}{dt} f_{y}(t,g(t))$    
  $\displaystyle = \left( f_{xx}(g(t),t)g'(t)+ f_{xy}(g(t),t) \right)g'(t)+ f_{x}(g(t),t)g''(t)+ f_{yx}(g(t),t)g'(t)+ f_{yy}(g(t),t)$    
  $\displaystyle = f_{x}(g(t),t)g''(t)+ f_{xx}(g(t),t)(g'(t))^{2}+ 2f_{xy}(g(t),t)g'(t)+ f_{yy}(g(t),t)$    

を得る.

2.87 (合成関数の微分)   関数 $ z=f(x,y)$, $ y=g(x)$ の 合成関数 $ z=f(x,g(x))$$ x$ 微分を考える. まず,$ x=t$, $ y=g(t)$ と置き換えて, $ z=f(t,g(t))$$ t$ で微分する. $ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=1}$, $ \displaystyle{\frac{dy}{dt}=g'(t)}$ より

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}f(t,g(t))= \frac{\partial f}{\partial x...
...}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} =f_{x}(t,g(t))+f_{y}(t,g(t))g'(t)$    

となる.$ t$$ x$ に置き換えると

$\displaystyle \frac{dz}{dx}= \frac{d}{dx}f(x,g(x))= f_{x}(x,g(x))+f_{y}(x,g(x))g'(x)$    

を得る. 同様にして,

$\displaystyle \frac{d^{2}z}{dx^{2}}= f_{y}(x,g(x))g''(x)+ f_{xx}(x,g(x))+ 2f_{xy}(x,g(x))g'(x)+ f_{yy}(x,g(x))(g'(x))^{2}$    

を得る.

2.88 (合成関数の微分)   関数 $ z=f(x,y)$ を用いて関数 $ F(t)=f(at,bt)$ を考える. このとき $ t$ で微分すると

$\displaystyle \frac{dF}{dt}= af_{x}(at,bt)+bf_{y}(at,bt)$    

となる.さらに微分して

$\displaystyle \frac{d^2F}{dt^2}$ $\displaystyle = \frac{d}{dt}\frac{dF}{dt}= a\frac{d}{dt}f_{x}(at,bt)+b\frac{d}{dt}f_{y}(at,bt)$    
  $\displaystyle = a\left(af_{xx}(at,bt)+bf_{xy}(at,bt)\right)+ b\left(af_{yx}(at,bt)+bf_{yy}(at,bt)\right)$    
  $\displaystyle = a^2f_{xx}(at,bt)+2abf_{xy}(at,bt)+b^2f_{yy}(at,bt)$    

となる.

2.89 (合成関数の微分)   関数 $ F(t)=f(at,bt)$ の 3 階導関数は

$\displaystyle \frac{d^2F}{dt^2}$ $\displaystyle = a^3f_{xxx}(at,bt)+3a^2bf_{xxy}(at,bt)+3ab^2f_{xyy}(at,bt) +b^3f_{yyy}(at,bt)$    

となる.

2.90 (合成関数の微分)   $ z=xg(y)+yf(x)$, $ x=t^3$, $ y=t^2$ のとき,

  $\displaystyle \frac{dz}{dt}= (xg(y)+yf(x))_{x}\frac{dx}{dt}+ (xg(y)+yf(x))_{y}\frac{dy}{dt}$    
  $\displaystyle = (g(y)+yf'(x))\frac{dx}{dt}+ (xg'(y)+f(x))\frac{dy}{dt} = (g(t^2)+t^2f'(t^3))3t^2+ (t^3g'(t^2)+f(t^3))2t$    
  $\displaystyle = 2tf(t^3)+3t^2g(t^2)+ 3t^4f'(t^3)+2t^4g'(t^2)$    

となる.


平成21年12月2日