2.18 1 変数関数の合成関数の微分

定理 2.81 (合成関数の微分) 関数 , $x=\phi(t)$ の合成関数 $y=f(\phi(t))$ はについての 1 変数関数であり，この合成関数の導関数は

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$

となる．または，代入も含めて正確に書くと

$\displaystyle \frac{d}{dt}f(\phi(t)) =f'(\phi(t))\phi'(t)$

となる．

（証明）関数 , $x=\phi(t)$ を微分可能とすると

$\displaystyle dy=f'(x)dx, \qquad dx=\phi'(t)dt$

であり，

$\displaystyle ($ ☆ $\displaystyle )\qquad$	$\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)= f'(x)\Delta x+\varepsilon_1(\Delta x),$
$\displaystyle ($ ○ $\displaystyle )\qquad$	$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\varepsilon_1(\Delta x)}{\Delta x}=0,$
$\displaystyle ($ ★ $\displaystyle )\qquad$	$\displaystyle \Delta x=\phi(t+\Delta t)-\phi(t)= \phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2(\Delta t),$
$\displaystyle ($ ● $\displaystyle )\qquad$	$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_2(\Delta t)}{\Delta t}=0$

と表される．このとき，

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}$	$\displaystyle = \frac{f(\phi(t+\Delta t))-f(\phi(t))}{\Delta t}= \frac{f(x+\Del... ... \frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t}$
	$\displaystyle = \frac{f'(x)\Delta x+\varepsilon_1}{\Delta x} \frac{\phi'(t)\Del... ...psilon_1}{\Delta x}\right) \left(\phi'(t)+\frac{\varepsilon_2}{\Delta t}\right)$
	$\displaystyle = f'(x)\phi'(t)+ \phi'(t)\frac{\varepsilon_1}{\Delta x}+ f'(x)\fr... ...ilon_2}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta x}\frac{\varepsilon_2}{\Delta t}$

となる．ここで $\Delta t\to 0$ の極限をとると(●)が成り立つ．このとき， $\Delta t\to 0$ , $\varepsilon_2\to 0$ より， (★)は $\Delta x\to 0$ となる． $\Delta x\to 0$ のとき(○)が成り立つ．よって，(○), (●)より，

$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}$

$\displaystyle = f'(x)\phi'(t)=f'(\phi(t))\phi'(t)$

を得る．