2.18 1 変数関数の合成関数の微分

定理 2.81 (合成関数の微分)   関数 $ y=f(x)$, $ x=\phi(t)$ の合成関数 $ y=f(\phi(t))$$ t$ についての 1 変数関数であり,この合成関数の導関数は

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$    

となる.または,代入も含めて正確に書くと

$\displaystyle \frac{d}{dt}f(\phi(t)) =f'(\phi(t))\phi'(t)$    

となる.


(証明)     関数 $ y=f(x)$, $ x=\phi(t)$ を微分可能とすると

$\displaystyle dy=f'(x)dx, \qquad dx=\phi'(t)dt$    

であり,

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)= f'(x)\Delta x+\varepsilon_1(\Delta x),$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\varepsilon_1(\Delta x)}{\Delta x}=0,$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \Delta x=\phi(t+\Delta t)-\phi(t)= \phi'(t)\Delta t+\varepsilon_2(\Delta t),$    
$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad$ $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{\varepsilon_2(\Delta t)}{\Delta t}=0$    

と表される.このとき,

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}$ $\displaystyle = \frac{f(\phi(t+\Delta t))-f(\phi(t))}{\Delta t}= \frac{f(x+\Del...
... \frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{\Delta y}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t}$    
  $\displaystyle = \frac{f'(x)\Delta x+\varepsilon_1}{\Delta x} \frac{\phi'(t)\Del...
...psilon_1}{\Delta x}\right) \left(\phi'(t)+\frac{\varepsilon_2}{\Delta t}\right)$    
  $\displaystyle = f'(x)\phi'(t)+ \phi'(t)\frac{\varepsilon_1}{\Delta x}+ f'(x)\fr...
...ilon_2}{\Delta t}+ \frac{\varepsilon_1}{\Delta x}\frac{\varepsilon_2}{\Delta t}$    

となる. ここで $ \Delta t\to 0$ の極限をとると(●)が成り立つ. このとき, $ \Delta t\to 0$, $ \varepsilon_2\to 0$ より, (★)は $ \Delta x\to 0$ となる. $ \Delta x\to 0$ のとき(○)が成り立つ. よって,(○), (●)より,

$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}$ $\displaystyle = f'(x)\phi'(t)=f'(\phi(t))\phi'(t)$    

を得る.


平成21年12月2日