2.17 演習問題 〜 ランダウの記号,全微分

2.75 (ランダウの記号)   次の式をみたす $ g(x),h(x)$ を書け.
    (1)   $ \displaystyle{\sin x-x=o(g(x))=O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$     (2)   $ \displaystyle{\cos x=1+o(g(x))=1+O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$
    (3)   $ \displaystyle{\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(g(x))=x-\frac{x^2}{2}+O(h(x))\quad (x\rightarrow 0)}$
    (4)   $ \displaystyle{\sqrt{x^2+x}=o(g(x))=O(h(x))\quad (x\rightarrow \infty)}$

2.76 (ランダウの記号)   次の評価式の \scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}をうめて評価式を完成せよ.
    (1)   $ \displaystyle{e^{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{\...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$     (2)   $ \displaystyle{e^{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{\...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (3)   $ \displaystyle{\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$     (4)   $ \displaystyle{\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\text{...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (5)   $ \displaystyle{\log(1+x)=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\te...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (6)   $ \displaystyle{\log(1+x)=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}+\te...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (7)   $ \displaystyle{\log(1+x)-\sin x=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$...
...$}}}x^2+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (8)   $ \displaystyle{\frac{\sinh x}{x}=\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square...
...$}}}x^2+o(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad (x\to0)}$
    (9)   $ \displaystyle{\sinh\,x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})=
\text{\scalebox{1.3}{\raisebox...
...}}}\,x^3+O(x^{\text{\scalebox{1.3}{\raisebox{-.4ex}{$\square$}}}})\quad(x\to0)}$

2.77 (全微分)   次の関数が全微分可能であるか議論せよ.
    (1)  $ z=xy$     (2)  $ z=x+y$     (3)   $ \displaystyle{z=\frac{x^2}{y}}$     (4)   $ \displaystyle{z=\vert x+y\vert}$
(ヒント)次の手順(i)-(v)で議論する. (i) 点 $ (x,y)$ から点 $ (x+\Delta x,y+\Delta y)$ への 増分 $ \Delta z$ を求める. (ii) $ \Delta z=\alpha \Delta x+\beta \Delta y+\epsilon$, $ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ とおき, $ \displaystyle{\epsilon/\rho}$ を求める. (iii) $ \Delta x=\rho\cos\theta,\Delta y=\rho\sin\theta$ とおき, 極限 $ \displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\epsilon/\rho}$ を求める. (iv) $ \displaystyle{\lim_{\rho\to 0}\epsilon/\rho=0}$ を みたす有限な $ \alpha,\beta$ を決定する. (v) $ \Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho)$ ($ \rho\to 0$) をみたす有限な $ \alpha,\beta$ が一意に存在することを示す.

2.78 (全微分)   次の関数の全微分を求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{z=x^2e^{xy}}$     (2)   $ \displaystyle{z=x^4y+x^2y^3+xy^4}$     (3)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$     (4)   $ u=xy+yz+zx$
    (5)   $ \displaystyle{z=x^4+3x^2y+y^5}$     (6)   $ \displaystyle{z=3x^4y-5x^2y^3+2xy^4}$     (7)   $ \displaystyle{z=x\,\cos y-y\,\cos x}$
    (8)   $ \displaystyle{z=\frac{e^{xy}}{e^x+e^y}}$     (9)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Sin}^{-1}x^2y}$     (10)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Sin}^{-1}{\frac{x}{y}}}$

2.79 (全部分可能性と連続性)   次を示せ.
    (1)   関数 $ f(x,y)$ が全微分可能なとき, $ f(x,y)$ は偏微分可能である.
    (2)   関数 $ f(x,y)$ が全微分可能なとき, $ f(x,y)$ は連続である.

2.80 (2 変数関数の微分)   関数 $ \displaystyle{f(x,y)=\frac{1}{\sin x+\cos y}}$ に対して,次の問に答えよ.
    (1)  偏導関数 $ f_x$$ f_y$ を求めよ.     (2)  偏微係数 $ f_x(0,0)$$ f_y(0,0)$ を求めよ.
    (3)  全微分 $ df$ を求めよ.     (4)  原点において関数 $ f(x,y)$ は連続であるか示せ.
    (5)  関数 $ F(x,y)=f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)$ を求めよ.


平成21年12月2日