2.16 全微分可能性と連続性

定理 2.74 (全微分可能と連続)   関数 $ z=f(x,y)$ が全微分可能であれば, $ z=f(x,y)$ は連続関数である.


(証明)     関数 $ z=f(x,y)$ が全微分可能であれば,

$\displaystyle \Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho) \quad(\rho\to0), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

が成り立つ. このとき $ (\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ の極限をとる. 右辺は

$\displaystyle \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} (\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho))=0$    

となる. よって左辺も 0 となるので,

  $\displaystyle \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\Delta z=0 \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=0$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad f(x,y)=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0...
...ghtarrow\quad f(x,y)=\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(x,y)}f(\tilde{x},\tilde{y})$    

を得る. 点 $ (x,y)$ への 極限 $ \displaystyle{\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(x,y)}
\!\!\!\!\!\!\!\!f(\tilde{x},\tilde{y})}$ が存在し,かつ点 $ (x,y)$ における値 $ f(x,y)$ と等しいので, 関数 $ f(x,y)$ は任意の点 $ (x,y)$ について連続である.




平成21年12月2日