2.16 全微分可能性と連続性

定理 2.74 (全微分可能と連続)   関数 $z=f(x,y)$ が全微分可能であれば， $z=f(x,y)$ は連続関数である．

（証明）     関数 $z=f(x,y)$ が全微分可能であれば，

$$\Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho) \quad(\rho\to0), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

が成り立つ． このとき $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ の極限をとる． 右辺は

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} (\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho))=0$$

となる． よって左辺も 0 となるので，

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\Delta z=0 \quad\Leftrightarrow\quad \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=0$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad f(x,y)=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0... ...ghtarrow\quad f(x,y)=\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(x,y)}f(\tilde{x},\tilde{y})$$

を得る． 点 $(x,y)$ への 極限 $${\lim_{(\tilde{x},\tilde{y})\to(x,y)} \!\!\!\!\!\!\!\!f(\tilde{x},\tilde{y})}$$ が存在し，かつ点 $(x,y)$ における値 $f(x,y)$ と等しいので， 関数 $f(x,y)$ は任意の点 $(x,y)$ について連続である．

平成21年12月2日