2.39 接線

注意 2.171 (曲線の法線ベクトル)   $xy$ 平面内の曲線 $F(x,y)=0$ 上の点を パラメータ表示し， $(x(t),y(t))$ とおく． このとき，曲線上の 2 点 $P(x(t),y(t))$, $Q(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))$ は $\Delta t$ が十分小さいときテイラー展開して

$$\overrightarrow{PQ}=\vec{x}(t+\Delta)-\vec{x}(t)= \vec{x}'(t)\Delta t+O(\Delta t^2)$$

と表される． $\Delta t\to 0$ のとき， ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の向きと 接線の方向ベクトル $\vec{p}$ の向きは等しくなる． よって， 接線の方向ベクトルは $\vec{p}=\vec{x}'(t)$ である． 一方， $F(x(t),y(t))=0$ の両辺を $t$ で微分すると

$$F_x(x,y)x'(t)+F_y(x,y)y'(t)=0$$

となる．ベクトルで表すと

$$\nabla F(x,y)\cdot \vec{x}'(t)=0$$

となる．$\nabla F$ は $\vec{x}'(t)$ と直交する． よって，接線の法線ベクトルは $\vec{n}=\nabla F(x,y)$ である．

定理 2.172 (接線)   曲線 $F(x,y)=0$ の点 $(a,b)$ における 接線の方程式は

$$F_x(a,b)(x-a)+ F_y(a,b)(y-b)=0$$

で与えられる．ベクトルで表記すると

$$\nabla F(\vec{a})\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0$$

となる．

（証明）     接線は点 $(a,b)$ を通り， 法線ベクトルが $\nabla F(a,b)$ の直線であるので， $\nabla F(\vec{a})\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0$ を得る． または，次のようにも示される． 条件 $F(x,y)=0$ により定義される陰関数 $y=f(x)$ を考える． このとき $y$ の導関数は

$$y'=f'(x)=-\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$$

である．$y=f(x)$ の $x=a$ における接線の方程式は

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)= f(a)-\frac{F_{x}(a,b)}{F_{y}(a,a)}(x-a) \quad\Rightarrow\quad F_x(a,b)(x-a)+ F_y(a,b)(y-b)=0$$

と表される．ただし，$b=f(a)$ とおく．

例 2.173 (接線の方程式)   円 $F=x^2+y^2-1=0$ の点 $(x_0,y_0)$ における 接線の方程式を求める． 接線の法線ベクトルは

$$F_x=2x,\quad F_y=2y$$

を用いて $\nabla F$ であり， 点 $(x_0,y_0)$ を通る直線であるから，

$$2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)=0 \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y-(x_0{}^2+y_0{}^2)=0 \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y=1$$

を得る．

例 2.174 (接線の方程式)   曲線 $x^{3}+xy^{2}=2$ の点 $(1,1)$ における 接線の方程式を求める． まず，曲線の方程式を書き直して $F(x,y)=x^3+xy^{2}-2=0$ とおく． このとき，

$$F_{x}(x,y)=3x^{2}+y^{2}, \quad F_{y}(x,y)=2xy$$

であり，点 $(x,y)=(1,1)$ を代入して

$$F_{x}(1,1)=4, \quad F_{y}(1,1)=2$$

となる． 接線の方程式は

$$F_x(1,1)(x-1)+F_y(1,1)(y-1)=0$$

であり， 書き直すと

$$2x+y=3$$

を得る． 法線ベクトルが $\begin{bmatrix}2 & 1 \end{bmatrix}^{T}$ の直線である．

例 2.175 (接線の方程式)   曲線 $F=x^3+3xy+4xy^2+y^2+y-2=0$ の点 $(1,-1)$ における 接線の方程式を求める．

$$F_x=3x^2+3y+4y^2, \quad F_y=3x+8xy+2y+1, F_x(1,-1)=4, \quad F_y(1,-1)=-6$$

より，接線は

$$F_x(1,-1)(x-1)+F_y(1,-1)(y+1)=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-3y-5=0$$

と得られる． 法線ベクトルが $\begin{bmatrix}2 & -3 \end{bmatrix}^{T}$ の直線である． 方程式を書き直して

$$y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$$

とする． 接線の傾きは $\frac{2}{3}$ で $y$ 切片は $-\frac{5}{3}$ である．

$$\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{\frac{-5}{3}}=1$$

と書き直す． 接線の $x$ 切片は $\frac{5}{2}$ で $y$ 切片は $-\frac{5}{3}$ である．

平成21年12月2日