2.40 2 変数の陰関数

定義 2.176 (陰関数)   変数 $ x$, $ y$, $ z$ が条件 $ F(x,y,z)=0$ をみたすとき, $ z$$ x$, $ y$ の関数 $ z=f(x,y)$ であるとみなせる. すなわち,

$\displaystyle F(x,y,f(x,y))=0$    

により定義される関数 $ f(x,y)$ を, $ F(x,y,z)=0$ で定義される陰関数(implicit function)という.

2.177 (陰関数)   条件

$\displaystyle F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$    

により定まる陰関数 $ z=f(x,y)$ の偏導関数を求める. $ z=f(x,y)$ を代入すると

$\displaystyle x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15=0$    

となる.両辺を $ x$ で偏微分すると

$\displaystyle (x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15)_x$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (x^2)_x+(3xy)_x-(2yf(x,y))_x+(xf(x,y))_x+(f(x,y)^2)_x-(15)_x$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (x^2)_x+3y(x)_x-2y(f(x,y))_x+(xf(x,y))_x+(f(x,y)^2)_x-15(1)_x$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle 2x+3y-2yf_x(x,y)+f(x,y)+xf_x(x,y)+2f(x,y)f_x(x,y)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (-2y+x+2f(x,y))f_x(x,y)+(2x+3y+f(x,y))$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (-2y+x+2z)f_x(x,y)+(2x+3y+z)$ $\displaystyle =0$    

となので,

$\displaystyle f_x(x,y)=z_x=\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{2x+3y+z}{-2y+x+2z}$    

を得る.同様にして $ y$ で偏微分すると

$\displaystyle (x^2+3xy-2yf(x,y)+xf(x,y)+f(x,y)^2-15)_y$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (x^2)_y+(3xy)_y-(2yf(x,y))_y+(xf(x,y))_y+(f(x,y)^2)_y-(15)_y$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle x^2(1)_y+3x(y)_y-2(yf(x,y))_y+x(f(x,y))_y+(f(x,y)^2)_y-15(1)_y$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle 3x-2f(x,y)-2yf_y(x,y)+xf_y(x,y)+2f(x,y)f_y(x,y)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (-2y+x+2f(x,y))f_y(x,y)+(3x-2f(x,y))$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle (-2y+x+2z)f_y(x,y)+(3x-2z)$ $\displaystyle =0$    

となるので,

$\displaystyle f_y(x,y)=z_y=\frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{3x-2z}{-2y+x+2z}$    

を得る.

定理 2.178 (陰関数の微分)   条件 $ F(x,y,z)=0$ で定義される陰関数 $ z=f(x,y)$ の偏導関数は, $ F_z(x,y,z)\neq0$ のとき

$\displaystyle f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,...
..., \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}$    

で与えられる.


(証明)     条件 $ 0=F(x,y,z)$$ z=f(x,y)$ を代入して, 両辺を $ x$ で偏微分すると

0 $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,f(x,y))= \frac{\partial F}{\par...
...ial y}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}$    
  $\displaystyle = \frac{\partial F}{\partial x}\times 1+ \frac{\partial F}{\parti...
...}\times 0+ \frac{\partial F}{\partial z}f_x(x,y)= F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)f_x(x,y)$    

となるので, $ f_x=-F_x/F_z$ を得る. 同様にして $ y$ で偏微分すると

0 $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial y}F(x,y,f(x,y))= \frac{\partial F}{\par...
...ial y}{\partial y}+ \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}$    
  $\displaystyle = \frac{\partial F}{\partial x}\times 0+ \frac{\partial F}{\parti...
...}\times 1+ \frac{\partial F}{\partial z}f_y(x,y)= F_y(x,y,z)+F_z(x,y,z)f_y(x,y)$    

となるので, $ f_y=-F_y/F_z$ を得る.

2.179 (陰関数)   条件

$\displaystyle F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$    

により定まる陰関数 $ z=f(x,y)$ の偏導関数を求める. まず,

$\displaystyle F_x=2x+3y+z, \quad F_y=3x-2z, \quad F_z=-2y+x+2z$    

より,偏導関数は

$\displaystyle z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x+3y+z}{-2y+x+2z}, \qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{3x-2z}{-2y+x+2z}$    

と得られる.

2.180 (陰関数)   条件

$\displaystyle F(x,y,z)=x^2+3xy-2yz+xz+z^2-15=0$    

により定まる陰関数 $ z=f(x,y)$ の 2 階偏導関数 $ z_{xx}$, $ z_{xy}$, $ z_{yy}$ を求める. 条件 $ F=0$ の両辺を $ x$ で偏微分すると

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad (-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z)=0$    

である.さらに $ x$ で偏微分すると

0 $\displaystyle =((-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z))_x$    
  $\displaystyle = (-2y+x+2z)_xz_x+ (-2y+x+2z)z_{xx}+ (2x+3y+z)_x$    
  $\displaystyle = (1+2z_x)z_x+(-2y+x+2z)z_{xx}+(2+z_x)$    
  $\displaystyle = (2+2z_x+2z_x{}^2)+(-2y+x+2z)z_{xx}$    

となるから,

$\displaystyle z_{xx}=-\frac{2+2z_x+2z_x{}^2}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(19y^2+9xy-6yz+3x^2+3xz+3z^2)}{(-2y+x+2z)^3}$    

を得る. (☆)の両辺を $ y$ で偏微分すると

0 $\displaystyle = ((-2y+x+2z)z_x+(2x+3y+z))_y$    
  $\displaystyle = (-2y+x+2z)_yz_x+ (-2y+x+2z)z_{xy}+ (2x+3y+z)_y$    
  $\displaystyle = (-2+2z_y)z_x+ (-2y+x+2z)z_{xy}+ (3+z_y)$    
  $\displaystyle = (3-2z_x+z_y+2z_xz_y)+ (-2y+x+2z)z_{xy}$    

となるから,

$\displaystyle z_{xy}=-\frac{3-2z_x+z_y+2z_xz_y}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(5xy-16yz+8x^2+8xz+8z^2)}{(-2y+x+2z)^3}$    

を得る. 条件 $ F=0$ の両辺を $ y$ で偏微分すると

$\displaystyle (-2y+x+2z)z_y+(3x-2z)=0$    

である.さらに $ y$ で偏微分すると

0 $\displaystyle = ((-2y+x+2z)z_y+(3x-2z))_y$    
  $\displaystyle = (-2y+x+2z)_yz_y+ (-2y+x+2z)z_{yy}+ (3x-2z)_y$    
  $\displaystyle = (-2+2z_y)z_y+ (-2y+x+2z)z_{yy}-2z_y$    
  $\displaystyle = (-4z_y+2z_y{}^2)+(-2y+x+2z)z_{yy}$    

となるから,

$\displaystyle z_{yy}=-\frac{-4z_y+2z_y{}^2}{-2y+x+2z}=\cdots= -\frac{2(3x-2z)(5x-4y+2z)}{(-2y+x+2z)^3}$    

を得る.


平成21年12月2日